Calcule as seguintes primitivas:

  1. ∫ z 1 / 3   l n   z   d z

Passo 1

Falaaaa ai, galerinha! Hoje vamos responder uma questão boa de prova, literalmente hahaha.

A questão de cálculo quer que calculemos o valor da integral indefinida:

∫ z 1 / 3   l n   z   d z

Bom, quando temos uma integral indefinida que é aquela que não possui intervalos de integração. Temos que ao resolver esse tipo de integral encontraremos uma função dita primitiva.

∫ f x d x = g x + C

Onde,

f x : É uma função conhecida, nessa questão é z 1 / 3   l n   z ;

g x + C : É a primitiva de f ( x ) ;

Então nesse probleminha devemos justamente encontrar a nossa função primitiva correspondente. Belezinha?! E como poderemos encontrar essa função??

Passo 2

Sabemos que existe um montão de técnicas e jeitos de se resolver integrais indefinidas de acordo com o tipo de função f ( x ) que temos inicialmente. Bom, nessa questão a nossa função é formada pelo produto de outras duas funções, logo, teremos que utilizar a técnica de integração por partes.

A fórmula de integração por partes diz que:

∫ u   d v = u ⋅ v - ∫ v   d u

Tá, mas pera aí! O que vai ser esse u   e   v ?? Para determinarmos quem será cada um dos termos de acordo com a nossa função inicial segue uma ideia de que o u será a função do produto de funções que é mais fácil de derivar. Já o d v é a função do produto de funções que é mais fácil de integrar. E é claro que o Responde Aí, tem um macete para te ajudar nisso.

Vamos escolher o u   respeitando a seguinte ordem: LIATE. Vamos relembrar juntos o que significa essa ordem? Ela é dada de acordo com a ordem das primeiras letrinhas. Bom, temos:

L   → Logarítmica: ( l n ( x ) )

I   → Inversa trigonométrica: ( a r c s e n   ( x ) ,   a r c t g ( x ) )

A   → Algébrica (ou polinomial): ( x n )

T   → Trigonométrica: ( s e n ( x ) , c o s ( x ) . . . )

E → Exponencial: ( e x )

Assim, nosso u = l n l n   z   e o d v = z 1 / 3 d z .

Aproveitando que já encontramos o u   e   o   d v vamos calcular agora quem serão os nossos d u   e   v já que precisaremos deles também para utilizar na fórmula o passo anterior.

u = l n l n   z  

Derivando essa função...

d u = 1 z   d z

E

d v = z 1 / 3 d z

Utilizando a integração..

v = ∫ d v

v = ∫ z 1 3   d z

Vamos precisar utilizar essa estratégia de integral para polinômios com o intuito de encontrar nosso v .

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

v = z 1 3 + 1 1 3 + 1

v = z 4 3 4 3

v = 3 4 z 4 3

Encontramos todos os ingredientes basta agora utilizarmos à receitinha de bolo!

Passo 3

Sendo,

∫ u   d v = u ⋅ v - ∫ v   d u

Substituindo com os dados da nossa questão, encontramos que:

∫ z 1 3   l n   z   d z = l n l n   z ⋅   3 4 z 4 3 - ∫ 3 4 z 4 3 ⋅ 1 z   d z

= 3 4 z 4 3 l n l n   z   - ∫ 3 4   z 1 3   d z

Retirando as constantes de dentro da integral, temos:

∫ z 1 3   l n   z   d z =   3 4 z 4 3 l n l n   z   - 3 4 ∫ z 1 3   d z

E utilizando novamente que ∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Obtemos,

∫ z 1 3   l n   z   d z =     3 4 z 4 3 l n l n   z   - 3 4 z 1 3 + 1 1 3 + 1

= 3 4 z 4 3 l n l n   z   - 3 4 3 4 z 4 3

Arrumando a nossa expressão, encontramos essa função primitiva lindona:

= 3 4 z 4 3 l n l n   z   - 3 4 + C

Ahh, e porque apareceu esse C ?? Lembra que estamos resolvendo uma integral indefinida? Então, temos que adicionar essa constante de integração C uma vez que não temos os limites de integração.

∫ z 1 3   l n   z   d z = 3 4 z 4 3 l n l n   z   - 3 4 + C

Showw?! Bora praticar mais!

Resposta

3 4 z 4 3 l n l n   z   - 3 4 + C

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Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x