Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Calcule:

∫ sen ⁡ ln ⁡ x d x

Passo 1

Essa aqui não tem muito para onde fugir, a única técnica que se encaixa é a integração por partes que terá: u = sen ⁡ ln ⁡ x v = x d u = cos ⁡ ln ⁡ x x d x d v = d x

Sendo a fórmula geral:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Substituindo: ∫ sen ⁡ ln ⁡ x d x = x sen ⁡ ln ⁡ x - ∫ cos ⁡ ln ⁡ x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Oxê, mas a integral que sobrou é tão difícil quando a inicial! Calma, jovem, vamos aplicar a integração por partes novamente para a nova integral:

u = cos ⁡ ln ⁡ x v = x d u = - sen ⁡ ln ⁡ x x d x d v = d x

Ficando:

∫ cos ⁡ ln ⁡ x d x = x cos ⁡ ln ⁡ x + ∫ sen ⁡ ln ⁡ x d x

Voltamos a estaca zero, ou será que não?

Passo 3

Vamos substituir a expressão na primeira integração por partes:

∫ sen ⁡ ln ⁡ x d x = x sen ⁡ ln ⁡ x - x cos ⁡ ln ⁡ x - ∫ sen ⁡ ln ⁡ x d x

Isolando a integral:

∫ sen ⁡ ln ⁡ x d x = 1 2 x sen ⁡ ln ⁡ x - cos ⁡ ln ⁡ x + C

Não podemos esquecer do C !

Resposta

∫ sen ⁡ ln ⁡ x d x = 1 2 x sen ⁡ ln ⁡ x - cos ⁡ ln ⁡ x + C

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