Calcule:

h )   ∫ x 3 sin ⁡ ( x 2 ) d x

Passo 1

Vamos começar a próxima!! Hehehe Força!!!

Para esta questão vamos precisar identificar uma substituição simples que irá possibilitar que utilizemos uma integração por partes, a partir daí a integração será resolvida por identificação da primitiva relacionada! Vamos seguir passo a passo este caminho! Bora lá!

Passo 2

Vamos tentar aplicar o método de integração por partes! Mas antes disso, vamos fazer uma substituição da seguinte forma u = x 2 e d u = 2 x d x , para aplicar isso, observe como podemos escrever nosso integrando:

∫ x 3 sin ⁡ ( x 2 ) d x = ∫ x 2 sin ⁡ ( x ) x d x = 1 2 ∫ u sin ⁡ ( u ) d u

Vamos tentar resolver isso por partes agora! Vem comigo!

Passo 3

O método do LIPTE (Logaritmo, Inversa, Polinomial, Trigonométrica, Exponencial), nos indica que é conveniente escolher como u ' a expressão:

u ' = u → d u ' = d u

E como d v :

d v = sin ⁡ ( u ) d u → v =   - cos ⁡ ( u )

Vamos aplicar estas escolhas! Saca só!

Passo 4

Temos a seguinte identificação para integração por partes:

∫ u ' d v = u ' v - ∫ v d u '

Ou seja, temos que:

∫ u sin ⁡ ( u ) d u = - u cos ⁡ u + ∫ cos ⁡ ( u ) d u

Estamos quase lá! Faltam só identificar a última primitiva!

Passo 5

Temos que:

∫ cos ⁡ ( u ) d u = sin ⁡ ( u ) + C

E, portanto:

∫ u sin ⁡ u = - u cos ⁡ u + sin ⁡ u + C

Que deve ser escrito nas variáveis originais como:

∫ x 3 sin ⁡ ( x 2 ) d x = - x 2 cos ⁡ x 2 + sin ⁡ x 2 + C

Mais uma alternativa foi!! Vamos lá que ainda faltam algumas!! Heheheheh Te vejo daqui a pouco!!

Resposta

∫ x 3 sin ⁡ ( x 2 ) d x = - x 2 cos ⁡ x 2 + sin ⁡ x 2 + C

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