Calcule:

k )   ∫ sin 4 ⁡ ( x ) cos ⁡ ( 2 x ) d x

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Para resolver esta questão precisamos diminuir aquele expoente do seno! Para fazer isso é bastante conveniente utilizarmos a relação de ângulo duplo, esta sendo:

sin 2 ⁡ ( x ) = 1 2 1 - cos ⁡ ( 2 x )           ( 1 )

Vamos começar por aí então!

Passo 2

Temos que:

∫ sin 4 ⁡ ( x ) cos ⁡ ( 2 x ) d x = ∫ sin 2 ⁡ ( x ) sin 2 ⁡ ( x ) cos ⁡ ( 2 x ) d x = ∫ 1 2 1 - cos ⁡ 2 x 1 2 1 - cos ⁡ 2 x cos ⁡ ( 2 x ) d x

Distribuindo alguns termos, temos que:

∫ 1 2 1 - cos ⁡ 2 x 1 2 1 - cos ⁡ 2 x cos ⁡ ( 2 x ) d x = 1 4 ∫ 1 - 2 cos ⁡ 2 x + cos 2 ⁡ ( 2 x ) cos ⁡ ( 2 x ) d x

Ou

1 4 ∫ 1 - 2 cos ⁡ 2 x + cos 2 ⁡ ( 2 x ) cos ⁡ ( 2 x ) d x = 1 4 ∫ cos ⁡ ( 2 x ) d x - 1 2 ∫ cos 2 ⁡ 2 x d x + 1 4 ∫ cos 3 ⁡ 2 x d x           ( 2 )

Beleza! Essa é a nossa primeira parte! Note que isso nos deu uma integral que já é conhecida, mas temos agora duas integrais problemáticas! Vamos trabalhar elas individualmente! Convenientemente, vou começar pela terceira! Bora lá!

Passo 3

Se utilizarmos que:

cos 2 ⁡ ( 2 x ) + sin 2 ⁡ ( 2 x ) = 1 → cos 2 ⁡ ( x ) = 1 - sin 2 ⁡ ( 2 x )

Temos que

∫ cos 3 ⁡ 2 x d x = ∫ cos ⁡ ( 2 x ) cos 2 ⁡ ( 2 x ) d x = ∫ cos ⁡ 2 x 1 - sin 2 ⁡ ( 2 x ) d x = ∫ cos ⁡ ( 2 x ) d x - ∫ sin 2 ⁡ ( 2 x ) cos ⁡ ( 2 x ) d x

Vamos voltar em nossa equação (2), temos que:

1 4 ∫ cos ⁡ ( 2 x ) d x - 1 2 ∫ cos 2 ⁡ 2 x d x + 1 4 ∫ cos 3 ⁡ 2 x d x = 1 4 ∫ cos ⁡ 2 x d x - 1 2 ∫ cos 2 ⁡ 2 x d x + 1 4 ∫ cos ⁡ 2 x d x - 1 4 ∫ sin 2 ⁡ ( 2 x ) cos ⁡ ( 2 x ) d x

Juntando alguns termos, temos então:

1 4 ∫ cos ⁡ 2 x d x - 1 2 ∫ cos 2 ⁡ 2 x d x + 1 4 ∫ cos ⁡ 2 x d x - 1 4 ∫ sin 2 ⁡ 2 x cos ⁡ ( 2 x ) d x = 1 2 ∫ cos ⁡ 2 x d x - 1 2 ∫ cos 2 ⁡ x d x - 1 4   ∫ sin 2 ⁡ ( 2 x ) cos ⁡ ( 2 x ) d x

A integral do cosseno ao quadrado pode ser tratada de maneira similar a que começamos! Bora lá!

Passo 4

Usando a seguinte relação para o cosseno:

cos 2 ⁡ ( 2 x ) = 1 2 1 + cos ⁡ ( 4 x )

Nossa integral fica então como:

1 2 ∫ cos ⁡ 2 x d x - 1 2 ∫ cos 2 ⁡ x d x - 1 4   ∫ sin 2 ⁡ 2 x d x = 1 2 ∫ cos ⁡ 2 x d x - 1 2 1 2 ∫ d x + 1 2 ∫ cos ⁡ 4 x d x - 1 4 ∫ sin 2 ⁡ ( 2 x ) cos ⁡ ( 2 x ) d x

Reescrevendo-a de uma forma mais bonitinha, temos:

1 2 ∫ cos ⁡ 2 x d x - 1 2 1 2 ∫ d x + 1 2 ∫ cos ⁡ 4 x d x - 1 4 ∫ sin 2 ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x d x = 1 2 ∫ cos ⁡ 2 x d x - 1 4 ∫ d x - 1 4 ∫ cos ⁡ 4 x d x - 1 4 ∫ sin 2 ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x d x           ( 3 )

Vamos resolver primeiro a última integral!

Passo 5

Para esta integração precisamos utilizar uma substituição simples em que u = sin ⁡ ( 2 x )     e     d u = 2 cos ⁡ ( 2 x ) d x , portanto:

∫ sin 2 ⁡ ( 2 x ) cos ⁡ ( 2 x ) d x = 1 2 ∫ u 2 d u

E usando que:

1 2 ∫ u 2 d u = u 2 + 1 2 + 1 + C = u 3 6 + C

Ou em nossa variável original, temos:

∫ sin 2 ⁡ ( 2 x ) cos ⁡ ( 2 x ) d x = 1 6 sin 3 ⁡ ( 2 x ) + C

Vamos voltar isso na equação (3). Bora que Bora!

Passo 6

Temos que:

1 2 ∫ cos ⁡ 2 x d x - 1 4 ∫ d x - 1 4 ∫ cos ⁡ 4 x d x - 1 4 ∫ sin 2 ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x d x = 1 2 ∫ cos ⁡ 2 x d x - 1 4 ∫ d x - 1 4 ∫ cos ⁡ 4 x d x - 1 4 1 6 sin 3 ⁡ 2 x + C

Usando que:

∫ cos ⁡ ( 2 x ) d x = 1 2 sin ⁡ ( 2 x ) + C

E que:

∫ cos ⁡ ( 4 x ) d x = 1 4 sin ⁡ ( 4 x ) + C

E

∫ d x = x + C

Temos, juntando tudo, que:

1 2 ∫ cos ⁡ 2 x d x - 1 4 ∫ d x - 1 4 ∫ cos ⁡ 4 x d x - 1 4 1 3 sin 3 ⁡ 2 x + C = 1 2 1 2 sin ⁡ 2 x - 1 4 x - 1 4 1 4 sin ⁡ 4 x - 1 24 sin 3 ⁡ 2 x + C

Simplificando tudo:

∫ sin 4 ⁡ ( x ) cos ⁡ ( 2 x ) d x = 1 4 sin ⁡ ( 2 x ) - 1 4 x - 1 16 sin ⁡ 4 x - 1 24 sin 3 ⁡ 2 x + C

A questão é isso! Te vejo na próxima! hehehe

Resposta

∫ sin 4 ⁡ ( x ) cos ⁡ ( 2 x ) d x = 1 4 sin ⁡ ( 2 x ) - 1 4 x - 1 16 sin ⁡ 4 x - 1 24 sin 3 ⁡ 2 x + C

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