Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

c) Calcule:

∫ e x sin ⁡ x d x

Passo 1

Pra gente integrar esse sujeito aí, vamos olhar no fundo dos olhos dele:

e x sin ⁡ x

Vamos ter então exponencial vezes uma trigonométrica. E olha só, isso ai tem cheiro de resolução por integração por partes. Quer ver? Seja:

f = sin ⁡ x → d f = cos ⁡ x d x

d g = e x d x → g = e x

A integração por partes:

∫ f   d g = f g - ∫ g   d f  

E logo:

∫ e x sin ⁡ x d x = e x sin ⁡ x - ∫ e x cos ⁡ x   d x  

Ok, não adiantou muita coisa por enquanto, porque caímos em outra integral de uma exponencial vezes uma função trigonométrica. Bem, vamos tentar integrar por partes de novo então. Veja só:

f = cos ⁡ x → d f = - sin ⁡ x d x

d g = e x d x → g = e x

A integração por partes:

∫ f   d g = f g - ∫ g   d f  

Fica:

∫ e x cos ⁡ x   d x = e x cos ⁡ x + ∫ e x sin ⁡ x d x  

Agora sim vai dar certo, quer ver? Juntando os dois resultados, temos:

∫ e x sin ⁡ x d x = e x sin ⁡ x - e x cos ⁡ x + ∫ e x sin ⁡ x d x    

2 ∫ e x sin ⁡ x d x = e x sin ⁡ x - e x cos ⁡ x  

∫ e x sin ⁡ x d x = e x 2 sin ⁡ x - cos ⁡ x + C  

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Resposta

∫ e x sin ⁡ x d x = e x 2 sin ⁡ x - cos ⁡ x + C  

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