Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Integração por Partes

Calcule as três integrais abaixo:

b   ∫ - π / 2 π / 2 x sen ⁡ x d x ;

Passo 1

Essa é a cara clássica de uma Integral por Partes. Aliás, vamos combinar assim: primeiro vou resolver só a integral indefinida e depois aplicamos os limites. Estamos misturando polinômio com trigonométrica. Pelo LIATE nós vamos escolher como nosso u o x . O resto é d v

u = x   ; d v = sen ⁡ x d x

d u = d x   ; v = - cos ⁡ x

∫ x sen ⁡ x d x = x - cos ⁡ x - ∫ - cos ⁡ x d x

= - x cos ⁡ x + sen ⁡ x

Ok, temos nossa integral indefinida, se nós utilizarmos os limites vamos matar o resultado:

- x cos ⁡ x + sen ⁡ x [ π 2 - π 2

= - π 2 cos ⁡ π 2 + sen ⁡ π 2 - - - π 2 cos ⁡ - π 2 + sen ⁡ - π 2

Temos que os cossenos aí são nulos! Enfim, ficamos assim:

= sen ⁡ π 2 - sen ⁡ - π 2 = 1 - - 1 = 2

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Resposta

∫ - π / 2 π / 2 x sen ⁡ x d x = 2

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