Calcule ∫ ln ⁡ x x d x , utilizando ora integração por substituição, ora integração por partes

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos dar uma olhada o que pede o nosso exercício:

∫ ln ⁡ x x d x

Bom, o nosso enunciado pede que a gente comece por um método de substituição. Então vamos lá:

u = ln ⁡ x → d u = 1 x d x

Substituindo:

∫ ln ⁡ x x d x = ∫ u d u

Resolvendo:

∫ u d u = u 2 2

Mas nós precisamos voltar para x :

u 2 2 = ln 2 ⁡ x 2 + C

Passo 2

Show, primeira parte feita. Mas o enunciado pede que a gente resolva o exercício também por integração por partes. Então vamos lá:

∫ ln ⁡ x x d x

Aqui usaremos a integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Ok, com isso, vamos dizer que:

u = ln ⁡ x → d u = 1 x d x

d v = 1 x d x → v = ln ⁡ x

Substituindo:

∫ ln ⁡ x x d x = l n 2 x - ∫ ln ⁡ x x d x

Opa, reparem que chegamos na mesma integral do início. Isso significa que temos uma integral circular. Para resolver, vamos jogar para o outro lado com sinal contrário:

∫ ln ⁡ x x d x + ∫ ln ⁡ x x d x = l n 2 x

2 ∫ ln ⁡ x x d x = l n 2 x

∫ ln ⁡ x x d x = l n 2 x 2 + C

Resposta

∫ ln ⁡ x x d x = l n 2 x 2 + C

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