Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Nos exercícios de 1 a 24 , resolva a integral indicada. Em alguns casos será preciso aplicar mais de uma técnica de integração.

4)

∫ x   a r c s i n   x   1 - x 2 d x

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer em uma integral é olhar!

“Hm? Oi? Olhar? Como assim?”

Isso mesmo, olhar! Olhar para a integral e “conversar” com ela. Perguntar qual método é o mais conveniente para resolvê-la, pois toda integral meio que te sugere qual é esse caminho de resolução.

Parece uma coisa boba, mas por incrível que pareça isso ajuda muito. Então vamos lá! ☺

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

∫ x   a r c s i n   x   1 - x 2 d x

Repare que a integral tem uma fração mas que pode ser separada:

∫ x   a r c s i n   x   1 - x 2 d x = ∫ x 1 - x 2 ⋅ a r c s i n   x     d x

O a r c s i n   x   é difícil de integrar, mas é fácil de derivar. Enquanto isso, x 1 - x 2 é mais fácil de integrar. Isso só pode sugerir um método... Integração por partes.

∫ u ⋅ d v = u ⋅ v - ∫ v ⋅ d u

Repare então que para resolver por esse método necessitamos de saber quem é u e d v , e lembre-se que o u é sempre o cara fácil de derivar enquanto o d v , o cara fácil de integrar.

Passo 3

Já vimos no passo anterior que a r c s i n   x   é fácil de derivar, então ele é o u , enquanto que o d v é o x 1 - x 2 ...

u = a r c s i n   x  

d v = x 1 - x 2 d x

Então agora derivemos u para obter o d u não se esquecendo de que a derivada do arco-seno é...

d u = ( a r c s i n   x   ) ' d x

d u = 1 1 - x 2   d x      

Agora em relação ao d v ... Integremos para obter o v ...

d v = x 1 - x 2 d x     →

∫ d v = ∫ x 1 - x 2 d x     →

Fazendo uma mudança simples...

1 - x 2 = a         →             d a = - 2 x d x       →             x d x = - d a 2

Substituindo...

v = ∫ x 1 - x 2 d x     = - ∫ 1 2 a d a    

v = - 1 - x 2

Sempre quando terminar essas continhas, monte uma tabelinha, Veja:

u = a r c s i n   x                             →                   d u = 1 1 - x 2   d x                                          

d v = x 1 - x 2 d x         →                 v = - 1 - x 2                                            

Com essa tabelinha em mãos, vem comigo substituir na fórmula de integração por partes ☺!

Passo 4

Pela fórmula é...

∫ u ⋅ d v = u ⋅ v - ∫ v ⋅ d u

Substituindo...

∫ x 1 - x 2 ⋅ a r c s i n   x     d x = - 1 - x 2   a r c s i n   x   - ∫ - 1 - x 2 ⋅ 1 1 - x 2   d x

∫ a r c s i n   x   x   d x = - 1 - x 2   a r c s i n   x   + ∫   d x

Repare que agora caímos na resolução de uma integral bem mais fácil:

∫   d x = x + C

Onde C é uma constante de integração. Então...

∫ a r c s i n   x   x   d x = - 1 - x 2   a r c s i n   x   + x + C

Resposta

- 1 - x 2   a r c s i n   x   + x + C

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