A figura ao lado ilustra o gráfico da função f : 0 , ∞ → R , f x = e - x . A área A ( R ) sob esse gráfico entre x = 0 e x = R é dada pela integral

A R = ∫ 0 R e - x d x

a ) Use uma mudança de variáveis para transformar a integral indefinida ∫ e - x d x em uma outra cujo integrando não envolva a função raiz quadrada.

b ) Calcule a integral do item anterior usando integração por partes.

c ) Usando os resultados anteriores, determine explicitamente a função A ( R ) .

d ) Calcule o limite lim R → ∞ ⁡ A ( R ) usando a regra de L’Hospital, e verifique se a área sob o gráfico da f ( x ) , para x ∈ [ 0 , ∞ ) , é finita.

Passo 1

Oiie, tudo certinho contigo?

O enunciado nos dá uma função f ( x ) definida em um intervalo, e pede para calcularmos a área em função de uma constante R qualquer pertencente ao intervalo dado. Para a primeira alternativa será suficiente fazer uma substituição simples, o que nos levará a uma integral por partes como pede a a segunda alternativa. A alternativa c ) é aplicar os limites de integração dados no enunciado na integral resolvida na alternativa anterior, e por último, iremos avaliar o limite quando R → ∞ em nosso resultado!

Vamos com calma em cada uma delas! Boa sorte para nós! E Bora lá!

Passo 2

A primeira coisa é tentar reescrever a integral! Temos o seguinte

I = ∫ e - x d x

Se usarmos que

t = x → d t = 1 2 x d t

Usando novamente que t = x , temos que d t = 1 2 t d x → d x = 2 t d t . Nossa integral se torna então

I = ∫ 2 t e - t d t

A alternativa a ) já foi! Agora vamos resolver essa integral para a alternativa b ) .

Passo 3

O enunciado sugere utilizar integração por partes, e é uma boa ideia, lembrando de utilizar LIPTE (Logaritmo, Inversa, Polinomial, Trigonométrica, Exponencial) para estabelecer qual função você deve dar preferência na hora de escolher o seu u e d v na expressão

∫ u d v = u v - ∫ v d u  

Neste caso, temos que u = t → d u = d t e d v = e - t → v = - e - t . Ou seja, a integral toma a forma

∫ t e - t d t = - t e - t + ∫ e - t d t + C

A nova integral que ainda está em aberto pode ser identificada como

∫ e - t d t = - e - t  

De forma que

∫ t e - t d t = - t e - t - e - t + C = - e - t t + 1 + C

Ou seja, temos que

I = - 2 e - t t + 1 + C

Vamos para a alternativa c ) agora!

Passo 4

Ele pede para que resolvamos a seguinte integral

A R = ∫ 0 R e - x d x

Nós já resolvemos a integral no passo anterior, então temos que aplicar os limites de integração! Da seguinte maneira

- 2 e - t t + 1 ​ t ( 0 ) t ( R )

Se lembrarmos que t = x , podemos escrever que t R = R e t 0 = 0 . Portanto, precisamos resolver o seguinte

- 2 e - t t + 1 ​ 0 R = - 2 e - R R + 1 - - 2 e 0 0 + 1 = 2 - 2 R + 1 e R

Ou, resumidamente, temos

A R = 2 - 2 R + 1 e R

Tendo esta expressão em mão! Falta só calcular o limite pedido na alternativa d ) . Vamos lá!

Passo 5

Para acabar! Vamos calcular então

lim R → ∞ ⁡ 2 - 2 R + 1 e R = lim R → ∞ ⁡ 2 - 2 lim R → ∞ ⁡ R + 1 e R   = 2 - 2 lim R → ∞ ⁡ R + 1 e R

Note que ao tender R → ∞ , temos uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ no segundo termo. Portanto, podemos aplicar o método de L’Hospital e derivar tanto o numerador quando o numerador e reaplicar o limite! Vem comigo!

Passo 6

Temos o seguinte

d d R R + 1 = 1 2 R

E, também que

d d R e R = e R 1 2 R = e R 2 R

Voltando em nosso limite, temos

lim R → ∞ ⁡ A ( R ) = 2 - lim R → ∞ ⁡ 1 2 R e R 2 R = 2 - lim R → ∞ ⁡ 1 e R

Quando R → ∞ , temos que o segundo termo agora vai a 0 , portanto, temos que

lim R → ∞ ⁡ A ( R ) = 2

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

a )   I = ∫ 2 t e - t d t

b )   I = - 2 e - t t + 1 + C

c )   A R = 2 - 2 R + 1 e R

d ) lim R → ∞ ⁡ A ( R ) = 2

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Calcule a integral.int_()^() z^3 e^z d z
Calcule a integral.int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x
Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 20 - ∫ t g - 1 x x 2d x
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x