4. Integração por Partes

a) ∫ 0 π x 2 cos ⁡ x d x

Passo 1

Falaaa.. tudo bem??

Nessa questão vamos calcular a integral ∫ 0 π x 2 cos ⁡ x d x .

Como não conseguir calcular ela diretamente, vamos usar um método de integração.

Repara que temos o produto de duas funções bem diferentes, né? Isso indica que vamos usar integração por partes.

Vamos chamar uma das funções de u e a outra de d v e usar a fórmula:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

E pra escolher qual é qual?? Pra u escolher a função que seja fácil de derivar e pra d v escolhemos a função que seja fácil de integrar.

Passo 2

Usando integração por partes na nossa integral:

u = x 2 → d u = 2 x   d x

d v = cos ⁡ x d x → v = sen ⁡ x

Usando a fórmula:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ 0 π x 2 cos ⁡ x d x = x 2 sen ⁡ x 0 π - ∫ 0 π sen ⁡ x 2 x d x

= 0 - ∫ 0 π sen ⁡ x 2 x d x

= - ∫ 0 π sen ⁡ x 2 x d x

Passo 3

Vamos usar integral por partes de novo, mas as funções mudaram, então:

u = 2 x → d u = 2 d x

d v = sen ⁡ x d x → v = - cos ⁡ x

Usando a fórmula:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

- ∫ 0 π sen ⁡ x 2 x d x = - - 2 x cos ⁡ x 0 π + ∫ 0 π - cos ⁡ x 2 d x

= - 2 π - 2 ∫ 0 π cos ⁡ x d x

= - 2 π - 2 sen ⁡ x 0 π

= - 2 π

Resposta

- 2 π

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