4. Integração por Partes

j) ∫ x 3 cos ⁡ x 2 d x

Passo 1

Falaaa.. tudo bem??

Nessa questão vamos calcular a integral ∫ x 3 cos ⁡ x 2 d x

Como não conseguir calcular ela diretamente, vamos usar um método de integração.

Repara que temos o produto de duas funções bem diferentes, né? Isso indica que vamos usar integração por partes.

Vamos chamar uma das funções de u e a outra de d v e usar a fórmula:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

E pra escolher qual é qual?? Pra u escolher a função que seja fácil de derivar e pra d v escolhemos a função que seja fácil de integrar.

Passo 2

Como tem uma bendita de uma cos ⁡ x 2 que não é fácil nem de derivar, nem de integral, vamos primeiro usar substituição simples.

t = x 2 →

d t = 2 x d x → x d x = d t 2

A integral fica:

∫ x 3 cos ⁡ x 2 d x = ∫ x 2 cos ⁡ x 2 x d x

= ∫ t cos ⁡ t d t 2

= 1 2 ∫ t cos ⁡ t d t

Agora ta melhorzinha, né??

Passo 3

Usando integração por partes:

u = t → d u = d t

d v = cos ⁡ t d t → v = sen ⁡ t

Usando a fórmula:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

1 2 ∫ t cos ⁡ t d t = 1 2 t sen ⁡ t - 1 2 ∫ sen ⁡ t d t

= 1 2 t sen ⁡ t - 1 2 - cos ⁡ t

= 1 2 t sen ⁡ t + cos ⁡ t

Voltando pra x :

= 1 2 x 2 sen ⁡ x 2 + cos ⁡ x 2

Como é uma integral indefinida, adicionamos uma constante no final:

= 1 2 x 2 sen ⁡ x 2 + cos ⁡ x 2 + C

Resposta

1 2 x 2 sen ⁡ x 2 + cos ⁡ x 2 + C

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Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x