4. Integração por Partes

h) ∫ sen ⁡ ln ⁡ x d x

Passo 1

Falaaa.. tudo bem??

Nessa questão vamos calcular a integral sen ⁡ ln ⁡ x d x .

Como não conseguir calcular ela diretamente, vamos usar um método de integração.

Repara que temos o produto de duas funções bem diferentes, né? Isso indica que vamos usar integração por partes.

Vamos chamar uma das funções de u e a outra de d v e usar a fórmula:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

E pra escolher qual é qual?? Pra u escolher a função que seja fácil de derivar e pra d v escolhemos a função que seja fácil de integrar.

Passo 2

Nessa questão temos uma função só, maaas podemos considerar como duas funções onde uma das funções é 1 , né? Então temos:

∫ sen ⁡ ln ⁡ x d x = ∫ 1 sen ⁡ ln ⁡ x d x

Usando integração por partes:

u = sen ⁡ ln ⁡ x → d u = 1 x cos ⁡ ln ⁡ x d x

d v = 1 d x → v = x

Usando a fórmula:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ sen ⁡ ln ⁡ x d x = x sen ⁡ ln ⁡ x - ∫ x 1 x cos ⁡ ln ⁡ x d x

∫ sen ⁡ ln ⁡ x d x = x sen ⁡ ln ⁡ x - ∫ cos ⁡ ln ⁡ x d x

Passo 3

Vamos separar essa segunda integral:

∫ cos ⁡ ln ⁡ x d x

Usando integração por partes mais uma vez:

u = cos ⁡ ln ⁡ x → d u = - 1 x sen ⁡ ln ⁡ x d x

d v = 1 d x → v = x

Usando a fórmula:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ cos ⁡ ln ⁡ x d x = x cos ⁡ ln ⁡ x - ∫ x   - 1 x sen ⁡ ln ⁡ x d x

∫ cos ⁡ ln ⁡ x d x = x cos ⁡ ln ⁡ x + ∫ sen ⁡ ln ⁡ x d x

Passo 4

Voltando pra equação do final do passo 2:

∫ sen ⁡ ln ⁡ x d x = x sen ⁡ ln ⁡ x - ∫ cos ⁡ ln ⁡ x d x

∫ sen ⁡ ln ⁡ x d x = x sen ⁡ ln ⁡ x - x cos ⁡ ln ⁡ x + ∫ sen ⁡ ln ⁡ x d x

∫ sen ⁡ ln ⁡ x d x = x sen ⁡ ln ⁡ x - x cos ⁡ ln ⁡ x - ∫ sen ⁡ ln ⁡ x d x

Repara que acabou aparecendo a integral que queremos achar do outro lado também. Vamos passar pro outro lado mudando o sinal:

∫ sen ⁡ ln ⁡ x d x + ∫ sen ⁡ ln ⁡ x d x = x sen ⁡ ln ⁡ x - x cos ⁡ ln ⁡ x

2 ∫ sen ⁡ ln ⁡ x d x = x sen ⁡ ln ⁡ x - x cos ⁡ ln ⁡ x

∫ sen ⁡ ln ⁡ x d x = x 2 sen ⁡ ln ⁡ x - cos ⁡ ln ⁡ x

Como é integral indefinida, adicionamos uma constante no final:

= x 2 sen ⁡ ln ⁡ x - cos ⁡ ln ⁡ x + C

Resposta

x 2 sen ⁡ ln ⁡ x - cos ⁡ ln ⁡ x + C

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Calcule a integral.int_()^() z^3 e^z d z
Calcule a integral.int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x
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Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x