Mostre que ∫ 0 π / 2   x sin ⁡ ( x ) d x ≤ π 2 8

Passo 1

Falaaaaa, galeraaaa! Tudo belezinha?

Nessa questão a gente vai precisar integrar uma função, pra provar uma inequação.

A função que precisamos integrar é um produto de funções e, por isso, Nessa questão devemos usar a integração por partes. Assim, conseguiremos encontrar o resultado da integral e substituir os limites de integração.

A integração por partes, nada mais é que uma maneira de transformar a integral de um produto de funções em uma integral mais fácil de ser resolvida. Sua expressão é

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Calma, não se assuste! Vou te explicar direitinho o que significa cada umas dessas variáveis.

  • u e v são as funções que se multiplicam;no integrando da integral original, temos u e d v sendo multiplicados;
  • d u e d v são suas respectivas derivadas;
  • a função u será aquela que vamos derivar pra encontrar d u ;
  • a função d v será aquela que vamos integrar. pra encontrar v .

Passo 2

Agora vamos colocar em prática o que aprendemos no Passo 1.

A nossa integral é

∫ 0 π / 2   x sin ⁡ ( x ) d x

Vamos separar em:

u = x

d v = sin ⁡ ( x ) d x

A derivada de   u será

d u = 1 d x

E a integral de sin ⁡ ( x ) d x será

∫ sin ⁡ ( x ) d x = - cos ⁡ x = v

Passo 3

O último passo é fazer as substituições.

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ x sin ⁡ ( x ) d x = x - cos ⁡ x - ∫ - cos ⁡ ( x ) d x

∫ x sin ⁡ ( x ) d x = - x cos ⁡ x + sin ⁡ ( x )

Substituindo os limites de integração

∫ 0 π / 2   x sin ⁡ ( x ) = - x cos ⁡ x + sin ⁡ ( x ) 0 π / 2 = - π 2 cos ⁡ π 2 + sin ⁡ π 2 - - 0 cos ⁡ 0 + sin ⁡ 0 = 1

∫ 0 π / 2   x sin ⁡ ( x ) = 1 ≤ π 2 8

∫ 0 π / 2   x sin ⁡ ( x ) = 1 ≤ 1,233

Até mais!

Resposta

∫ 0 π / 2   x sin ⁡ ( x ) = 1 ≤ π 2 8

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