Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Q01c) Calcule

∫ e 2 x cos ⁡ x d x

Passo 1

Vou te contar um segredo, consegue guardar? Beleza, então chega mais que meu segredo é o seguinte: quando eu tiver produto de funções diferentes numa integral, uso integração por partes. Agora que você pegou meu segredo, vamos tentar fazer isso. Se eu escolher:

u = e 2 x

cos ⁡ x d x = d v

Eu acabo me dando bem em! Porque a derivada de u é muito parecido com o próprio u . Derivando a primeira linha e integrando a segunda, vamos ter:

d u = 2 e 2 x d x

v = sin ⁡ x

E como a fórmula de integração por partes é:

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

Só precisamos substituir. Vamos ficar com:

∫ e 2 x cos ⁡ x d x = e 2 x sin ⁡ x - ∫ 2 e 2 x sin ⁡ x d x

Eita, pera, e agora? Continuamos com outra integral que tem exponencial vezes trigonométrica! Olha, a princípio, parece que n chegamos a lugar nenhum. Mas se fizermos de novo, vamos regenerar o cosseno dentro da integral! Saca só! Dessa vez escolhendo:

u = 2 e 2 x

sin ⁡ x d x = d v

Derivando a primeira linha e integrando a segunda, vamos ter:

d u = 4 e 2 x d x

v = - cos ⁡ x

E como a fórmula de integração por partes é:

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

Vamos ter:

∫ e 2 x cos ⁡ x d x = e 2 x sin ⁡ x - - 2 e 2 x cos ⁡ x + ∫ 4 e 2 x cos ⁡ x d x

Manipulando um pouquinho, chegamos à:

∫ e 2 x cos ⁡ x d x = e 2 x sin ⁡ x + 2 e 2 x cos ⁡ x - 4 ∫ e 2 x cos ⁡ x d x

5 ∫ e 2 x cos ⁡ x d x = e 2 x sin ⁡ x + 2 e 2 x cos ⁡ x

∫ e 2 x cos ⁡ x d x = e 2 x sin ⁡ x + 2 e 2 x cos ⁡ x 5

Por fim, pondo o que der em evidência e adicionando a nossa amada constante de integração

∫ e 2 x cos ⁡ x d x = e 2 x 5 sin ⁡ x + 2 cos ⁡ x + C

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Resposta

∫ e 2 x cos ⁡ x d x = e 2 x 5 sin ⁡ x + 2 cos ⁡ x + C

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