Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Q02a) Calcule as seguintes integrais:

∫ x + 1 cos ⁡ π x   d x

Passo 1

Vou te mandar a real: toda técnica de integração tem sua cara. E tem uma que a cara é exatamente a desse enunciado: produto de funções diferentes. Então não tem jeito, vamos ter que usar a nossa querida e amada integração por partes! Se eu escolher:

u = x + 1

cos ⁡ π x d x = d v

O primeiro eu derivo o segundo eu integro, beleza? E olha a vantagem, ao derivar um polinômio eu desço o seu grau em uma unidade. Maravilha, só vamos precisar integrar por partes uma vez só. Quer ver? Derivando e integrando então:

d u = d x

v = sin ⁡ π x π

Sendo a fórmula da integração por partes:

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

Ficamos com:

∫ x + 1 cos ⁡ π x   d x = x + 1 sin ⁡ π x π - ∫ sin ⁡ π x π   d x

∫ x + 1 cos ⁡ π x   d x = x + 1 sin ⁡ π x π - - cos ⁡ π x π 2 + C

Ajeitando pra ficar bonito, temos:

∫ x + 1 cos ⁡ π x   d x = x + 1   sin ⁡ π x π + cos ⁡ π x π 2 + C

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Resposta

∫ x + 1 cos ⁡ π x   d x = x + 1   sin ⁡ π x π + cos ⁡ π x π 2 + C

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