Questão 2

Calcule as integrais abaixo.

a)

∫ ⁡ x 3 l n x d x

Passo 1

Bom galera, questão de integral... pode vir que é sucesso!

Nesse caso, temos uma função que é a multiplicação de duas funções que não conversam muito entre si.

Temos uma função algébrica x 3 e uma função logarítmica l n ⁡ ( x ) .

Dessa forma, vamos tentar resolver fazendo a famosa integração por partes, onde:

∫ u d v = u v - ∫ v d u  

E a nossa escolha para u e para d v vai seguir a regra do L I A T E .

Ou seja, vamos escolher para ser u a função que aparecer primeiro na seguinte ordem (Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Algébrica, Trigonométrica e Exponencial).

Passo 2

Aplicando o LIATE, vemos que a função l n ⁡ ( x ) por ser logarítmica aparece primeiro, portanto vamos usa-la como u

u = ln ⁡ x

A para calcular d u só precisamos derivar.

d u = 1 x d x

Beleza, agora com relação ao d v , vamos pegar o que sobrou lá de dentro da integral, portanto teremos:

d v = x 3 d x

E para calcular v só precisamos integrar.

v = x 4 4

Passo 3

Subtituindo na nossa integral por partes, teremos:

∫ x 3 ln ⁡ x d x   = u v - ∫ v d u

= ln ⁡ x x 4 4 - ∫ x 4 4 1 x d x  

= ln ⁡ x x 4 4 - ∫ x 3 4 d x  

Agora só integrar, e como a nossa integral é indefinida, não esquece de colocar a constante C no final.

= ln ⁡ x x 4 4 - x 4 16 + C

Resposta

∫ x 3 ln ⁡ x d x   = ln ⁡ x x 4 4 - x 4 16 + C

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