Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Integração por Substituição

Resolva a integral:

∫ cos ⁡ x d x

Passo 1

O método de integração mais indicado nesse caso é a substituição simples! E sem muito por onde escolher, vamos fazer a substituição: t = x . E dessa forma:

d t = 1 2 x d x

d x = 2 x   d t

d x = 2 t   d t

Substituindo na expressão a ser integrada:

2 ∫ c o s ⁡ ( t ) t d t

E PUTZ! Ainda não dá pra resolver!! Vamos ter que usar agora a integração por partes.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Escolhendo t como u e cos ⁡ t d t como d v , temos:

2 ∫ cos ⁡ t t   d t = 2 s e n t   t - ∫ s e n t d t  

= 2 s e n t   t + cos ⁡ t + C

SÓ QUE: NÃO ESQUEÇAM DE UMA COISA MUITO IMPORTANTE!!!

Foi pedido o cálculo de uma integral em x !!! Então NÃO podemos dar como resposta uma expressão em t . O que temos a fazer é substituir t = x de volta no resultado que encontramos!

Passo 3

Voltando pra variável original:

∫ cos ⁡ x d x = 2 x   s e n x + cos ⁡ x + C

Resposta

∫ cos ⁡ x d x = 2 x   s e n x + cos ⁡ x + C

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