Resolva as seguintes integrais pelo método da integração por partes:

a )   ∫ x s e n 5 x d x

Passo 1

Olá galera, tudo certinho por aí?

Nessa questão recebemos a integral:

∫ x s e n 5 x d x

E, precisamos resolvê-la utilizando a integração por partes. Vocês lembram de como usar esse método pra resolver integrais?

Então, basicamente ele vai dizer que:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Onde u e v são duas funções de x (inclusive, uma delas pode ser a própria função constante igual a 1 (mas aí o método não teria muita serventia).

A maior dificuldade pra utilizar a integração por partes é identificar qual parte do integrando é a função u e qual parte é v . Por isso, vou te passar um bizu muito bom!

Para escolher o u ( x ) basta seguir a ordem de prioridade abaixo:

1 ) Logarítimica ( ln ⁡ x )

2 ) Inversa Trigonométrica ( a r c s e n   x ,   a r c t g   x ,   … )

3 ) Algébrica ( x n )

4 ) Trigonométrica ( s e n   θ , cos ⁡ θ , … )

5 ) Exponencial ( e x )

Juntas, as iniciais formam a palavra LIATE! Vamo memorizar isso aí hein!

Prontinho! Agora que demos uma revisada no método, vamos meter bronca na integral! 😉

Passo 2

Bom, temos a integral: ∫ x s e n 5 x d x

Ou seja, essa integral é dada pelo produto de:

x s e n ( 5 x )

Pelo nosso método LIATE, as funções algébricas (isto é, polinômios e monômios) são prioritárias em relação as trigonométricas. Por isso, teremos:

u x = x d v = s e n ( 5 x )

Daí, como:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vamos começar calculando quem é v ( x ) :

v x = ∫ s e n 5 x d x

=   - cos ⁡ 5 x 5

Por outro lado, d u / d x vale:

d u d x = 1

Assim:

∫ x s e n ( 5 x ) = x ⋅ - cos ⁡ 5 x 5 - ∫ - cos ⁡ 5 x 5 d x

=   - x c o s 5 x 5 + 1 5 ⋅ ∫ c o s ⁡ ( 5 x ) d x

Excelente!

Passo 3

Então gente, pra finalizar precisamos calcular a integral:

∫ c o s ⁡ ( 5 x ) d x

De onde vem que:

∫ cos ⁡ 5 x d x = s e n 5 x 5

Juntando com o resultado que havíamos encontrado no item anterior para a integral principal, vem que:

∫ x s e n 5 x = - x c o s 5 x 5 + s e n 5 x 25 + C

Não podemos vacilar e esquecer de somar a constante hein galera, como é uma integral indefinida tem que ter sempre 😊.

Mas é isso pessoal, curtiram a solução?

Responde Aí!

Resposta

- x c o s 5 x 5 + s e n 5 x 25 + C

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