Resolva as seguintes integrais pelo método da integração por partes:

b )   ∫ x e - x d x

Passo 1

Eaeeeee pessoal, tudo certo?

Nessa questão recebemos a integral:

∫ x e - x d x

E, precisamos resolvê-la utilizando a integração por partes. Vocês lembram de como usar esse método pra resolver integrais?

Então, basicamente ele vai dizer que:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Onde u e v são duas funções de x (inclusive, uma delas pode ser a própria função constante igual a 1 (mas aí o método não teria muita serventia).

A maior dificuldade pra utilizar a integração por partes é identificar qual parte do integrando é a função u e qual parte é v . Por isso, vou te passar um bizu muito bom!

Para escolher o u ( x ) basta seguir a ordem de prioridade abaixo:

1 ) Logarítimica ( ln ⁡ x )

2 ) Inversa Trigonométrica ( a r c s e n   x ,   a r c t g   x ,   … )

3 ) Algébrica ( x n )

4 ) Trigonométrica ( s e n   θ , cos ⁡ θ , … )

5 ) Exponencial ( e x )

Juntas, as iniciais formam a palavra LIATE! Vamo memorizar isso aí hein!

Prontinho! Agora que demos uma revisada no método, vamos meter bronca na integral! 😉

Passo 2

Bom, temos a integral: ∫ x e - x d x

Ou seja, essa integral é dada pelo produto de:

x e - x

Pelo nosso método LIATE, as funções algébricas (isto é, polinômios e monômios) são prioritárias em relação as exponenciais. Por isso, teremos:

u x = x d v = e - x

Daí, como:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vamos começar calculando quem é v ( x ) :

v x = ∫ e - x d x

=   - e - x

Já a derivada de u ,   d u / d x , vale:

d u d x = 1

Daí, substituindo na expressão da integração por partes, temos:

∫ x e - x d x = x ⋅ - e - x - ∫ - e - x d x

=   - x e - x + ∫ e - x d x

Excelente!

Passo 3

Agora vamos resolver efetivamente a integral que encontramos (que, diga-se de passagem, é bem mais simples do que a do enunciado 😊).

Daí:

∫ e - x d x = - e - x

Substituindo, temos:

- x e - x + ∫ e - x d x = - x e - x - e - x

= - e - x ( x + 1 )

Portanto:

∫ x e - x d x = - e - x x + 1 + C

(Não podemos esquecer de somar a constante de integração no final de tudo hein pessoal!!)

Valeu gente, obrigado pela atenção de vocês! Até a próxima 😉

Resposta

- e - x x + 1 + C

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