Resolva as seguintes integrais pelo método da integração por partes:

d )   ∫ e 1 x x 3 d x

Passo 1

Oii pessoal, tudo na boa por aí?

Nessa questão recebemos a integral:

∫ e 1 x x 3 d x

E, precisamos resolvê-la utilizando a integração por partes. Vocês lembram de como usar esse método pra resolver integrais?

Então, basicamente ele vai dizer que:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Onde u e v são duas funções de x (inclusive, uma delas pode ser a própria função constante igual a 1 (mas aí o método não teria muita serventia).

A maior dificuldade pra utilizar a integração por partes é identificar qual parte do integrando é a função u e qual parte é v . Por isso, vou te passar um bizu muito bom!

Para escolher o u ( x ) basta seguir a ordem de prioridade abaixo:

1 ) Logarítimica ( ln ⁡ x )

2 ) Inversa Trigonométrica ( a r c s e n   x ,   a r c t g   x ,   … )

3 ) Algébrica ( x n )

4 ) Trigonométrica ( s e n   θ , cos ⁡ θ , … )

5 ) Exponencial ( e x )

Juntas, as iniciais formam a palavra LIATE! Vamo memorizar isso aí hein!

Prontinho! Agora que demos uma revisada no método, vamos meter bronca na integral! 😉

Passo 2

Bom, temos a integral:

∫ e 1 x x 3 d x

Ou seja, essa integral é dada pelo produto de:

e 1 x 1 x 3

Antes de aplicarmos a integração por partes, podemos fazer uma mudança de variável, chamando:

y = 1 x

d y = - x - 2 d x

Logo:

d x = - x 2 d y

=   - y - 2 d y

Substituindo na integral, temos:

∫ e 1 x x 3 d x = ∫ e y ⋅ y 3 ⋅ y - 2 d y

=   ∫ y ⋅ e y d y

Melhorou bastante né?!

Passo 3

Agora vamos para a integração por partes.

Pelo nosso método LIATE, as funções algébricas (isto é, polinômios e monômios) são prioritárias em relação as exponenciais. Por isso, teremos:

u y = y d v = e y

Daí, como:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vamos começar calculando quem é v ( y ) :

v x = ∫ e y d y

= e y

E, a derivada de u :

d u d y = 1

Assim, substituindo na expressão, temos:

∫ y ⋅ e y d y = y e y - ∫ e y d y

= y ⋅ e y - e y + C

Ou seja:

∫ y ⋅ e y d y = e y y - 1 + C

Agora precisamos apenas voltar à variável original. Como:

y = 1 x

Daí:

e y y - 1 + C = e 1 x ⋅ 1 x - 1 + C

Portanto:

∫ e 1 x x 3 d x = e 1 x ⋅ 1 x - 1 + C

Prontinho pessoal!

Até a próxima, valeeeu!

Resposta

e 1 x ⋅ 1 x - 1 + C

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Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x