Resolva as seguintes integrais pelo método da integração por partes:

e )   ∫ e 2 x s e n x d x

Passo 1

E aí galera, como vocês estão?

Nessa questão recebemos a integral:

∫ e 2 x s e n x d x

E, precisamos resolvê-la utilizando a integração por partes. Vocês lembram de como usar esse método pra resolver integrais?

Então, basicamente ele vai dizer que:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Onde u e v são duas funções de x (inclusive, uma delas pode ser a própria função constante igual a 1 (mas aí o método não teria muita serventia).

A maior dificuldade pra utilizar a integração por partes é identificar qual parte do integrando é a função u e qual parte é v . Por isso, vou te passar um bizu muito bom!

Para escolher o u ( x ) basta seguir a ordem de prioridade abaixo:

1 ) Logarítimica ( ln ⁡ x )

2 ) Inversa Trigonométrica ( a r c s e n   x ,   a r c t g   x ,   … )

3 ) Algébrica ( x n )

4 ) Trigonométrica ( s e n   θ , cos ⁡ θ , … )

5 ) Exponencial ( e x )

Juntas, as iniciais formam a palavra LIATE! Vamo memorizar isso aí hein!

Prontinho! Agora que demos uma revisada no método, vamos meter bronca na integral! 😉

Passo 2

Bom, temos a integral: ∫ e 2 x s e n x d x

Ou seja, essa integral é dada pelo produto de:

e 2 x s e n   x

Pelo nosso método LIATE, as funções trigonométricas são prioritárias em relação às exponenciais. Por isso, teremos:

u x = s e n   x d v = e 2 x

Daí, como:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vamos começar calculando quem é v ( x ) :

v x = ∫ e 2 x d x

= e 2 x 2

Já a derivada de u ,   d u / d x , vale:

d u d x = cos ⁡ x

Daí, substituindo na expressão da integração por partes, temos:

∫ e 2 x s e n x d x = s e n   x ⋅ e 2 x 2 - ∫ cos ⁡ x ⋅ e 2 x 2 d x

= s e n   x ⋅ e 2 x 2 - 1 2 ∫ e 2 x ⋅ cos ⁡ x   d x

Show de bola!

Passo 3

O problema é que para calcular a integral:

∫ e 2 x ⋅ cos ⁡ x   d x

Precisamos usar novamente a integração por partes. Em geral isso sempre ocorre quando temos uma função trigonométrica envolvida.

Então vamos lá:

u x = cos ⁡ x d v = e 2 x

Daí:

v x = e 2 x 2

d u d x =   - s e n ( x )

Substituindo na nossa expressão, vamos ter:

∫ e 2 x ⋅ cos ⁡ x   d x = cos ⁡ x ⋅ e 2 x 2 - ∫ - s e n   x e 2 x 2 d x

= e 2 x 2 ⋅ cos ⁡ x + 1 2 ∫ e 2 x s e n   x   d x

Olha que interessante, o resultado dessa integral ficou em função da integral do enunciado. Por isso, vamos substituir esse resultado na expressão que havíamos encontrado anteriormente.

∫ e 2 x s e n   x   d x = s e n   x ⋅ e 2 x 2 - 1 2 ∫ e 2 x ⋅ cos ⁡ x   d x

Mas:

∫ e 2 x ⋅ cos ⁡ x   d x = e 2 x 2 ⋅ cos ⁡ x + 1 2 ∫ e 2 x s e n   x   d x

Daí:

∫ e 2 x s e n   x   d x = s e n   x ⋅ e 2 x 2 - 1 2 ⋅ e 2 x 2 ⋅ cos ⁡ x + 1 2 ∫ e 2 x s e n   x   d x  

⇒ ∫ e 2 x s e n   x   d x = s e n   x ⋅ e 2 x 2 - e 2 x 4 ⋅ c o s ⁡ ( x ) - 1 4 ⋅ ∫ e 2 x s e n   x   d x

Isolando a nossa integral do enunciado em um dos lados da equação, temos:

5 4 ⋅ ∫ e 2 x s e n   x   d x = s e n   x ⋅ e 2 x 2 - e 2 x 4 ⋅ c o s ⁡ ( x )

Portanto:

∫ e 2 x s e n   x   d x = 2 5 ⋅ e 2 x ⋅ s e n   x - 1 5 ⋅ e 2 x ⋅ cos ⁡ x + C

E é isso galeraaa!! Pegaram a ideia? Espero que vocês tenham curtido!

Até a próxima 😊

Resposta

∫ e 2 x s e n   x   d x = 2 5 ⋅ e 2 x ⋅ s e n   x - 1 5 ⋅ e 2 x ⋅ cos ⁡ x + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int_()^() z^3 e^z d z
Calcule a integral.int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x
Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 20 - ∫ t g - 1 x x 2d x
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x