Resolva as seguintes integrais pelo método da integração por partes:

f )   ∫ x ⋅ ln ⁡ x d x

Passo 1

E aí gente bonita, como vocês estão?

Nessa questão recebemos a integral:

∫ x ⋅ l n ⁡ x d x

E, precisamos resolvê-la utilizando a integração por partes. Vocês lembram de como usar esse método pra resolver integrais?

Então, basicamente ele vai dizer que:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Onde u e v são duas funções de x (inclusive, uma delas pode ser a própria função constante igual a 1 (mas aí o método não teria muita serventia).

A maior dificuldade pra utilizar a integração por partes é identificar qual parte do integrando é a função u e qual parte é v . Por isso, vou te passar um bizu muito bom!

Para escolher o u ( x ) basta seguir a ordem de prioridade abaixo:

1 ) Logarítimica ( ln ⁡ x )

2 ) Inversa Trigonométrica ( a r c s e n   x ,   a r c t g   x ,   … )

3 ) Algébrica ( x n )

4 ) Trigonométrica ( s e n   θ , cos ⁡ θ , … )

5 ) Exponencial ( e x )

Juntas, as iniciais formam a palavra LIATE! Vamo memorizar isso aí hein!

Prontinho! Agora que demos uma revisada no método, vamos meter bronca na integral! 😉

Passo 2

Bom, temos a integral:

∫ x ⋅ l n ⁡ x d x

Ou seja, essa integral é dada pelo produto de:

x ln ⁡ x

Pelo nosso método LIATE, as funções logarítmicas (isto é, polinômios e monômios) são prioritárias em relação às exponenciais. Por isso, teremos:

u x = ln ⁡ x d v = x 1 2

Daí, como:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vamos começar calculando quem é v ( x ) :

v x = ∫ x 1 2 d x

= x 3 2 3 2

= 2 3 x 3 2

Já a derivada de u ,   d u / d x , vale:

d u d x = 1 x

Daí, substituindo na expressão da integração por partes, temos:

∫ x ⋅ ln ⁡ x d x = ln ⁡ x ⋅ 2 3 x 2 3 - ∫ x 2 3 ⋅ 1 x d x

= 2 3 x 2 3 ln ⁡ x - ∫ x - 1 3 d x

Excelente! Nosso trabalho se resume a calcular essa integral 😊

Passo 3

Vamos calcular:

∫ x - 1 3 d x

Como a primitiva de integrais de monômios vale:

∫ y n = y n + 1 n + 1

Temos:

∫ x - 1 3 d x = x 2 3 2 3

= 3 x 2 3 2

Daí, voltando à nossa integral principal:

∫ x ⋅ ln ⁡ x d x = 2 3 x 2 3 ln ⁡ x - 3 x 2 3 2 + C

(Não pode esquecer de somar a constante no final de tudo hein pessoal 😉).

E, acabamosss... Obrigado pela atenção galerinha 😉

Resposta

2 3 x 2 3 ln ⁡ x - 3 x 2 3 2 + C

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