Resolva as seguintes integrais pelo método da integração por partes:

c )   ∫ log ⁡ 1 - x d x

Passo 1

Faaaaaala galeraa, tudo na paz por aí?

Nessa questão recebemos a integral:

∫ log ⁡ 1 - x d x

E, precisamos resolvê-la utilizando a integração por partes. Vocês lembram de como usar esse método pra resolver integrais?

Então, basicamente ele vai dizer que:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Onde u e v são duas funções de x (inclusive, uma delas pode ser a própria função constante igual a 1 (mas aí o método não teria muita serventia).

A maior dificuldade pra utilizar a integração por partes é identificar qual parte do integrando é a função u e qual parte é v . Por isso, vou te passar um bizu muito bom!

Para escolher o u ( x ) basta seguir a ordem de prioridade abaixo:

1 ) Logarítimica ( ln ⁡ x )

2 ) Inversa Trigonométrica ( a r c s e n   x ,   a r c t g   x ,   … )

3 ) Algébrica ( x n )

4 ) Trigonométrica ( s e n   θ , cos ⁡ θ , … )

5 ) Exponencial ( e x )

Juntas, as iniciais formam a palavra LIATE! Vamo memorizar isso aí hein!

Prontinho! Agora que demos uma revisada no método, vamos meter bronca na integral! 😉

Passo 2

Bom, temos a integral:

∫ log ⁡ 1 - x d x

Para escolher cada uma das funções u e v do método de integração por partes, vamos precisar ter uma visãozinha além do alcance haha.

Vamos imaginar que:

u x = l o g ⁡ ( 1 - x )

Então, na nossa integral do método de integração por partes irá aparecer o termo d u , certo?

d u = 1 1 - x

E, se a gente escolhesse:

v x = 1 - x

d v d x = 1

Aí, na integral que vem do método, teríamos:

∫ v d u = ∫ 1 - x ⋅ 1 1 - x d x

∫ 1 d x

Seria lindo né? Então vamos fazer isso. Olha, vocês concordam que nossa integral original pode ser reescrita como:

∫ log ⁡ 1 - x d x = - ∫ - 1 ⋅ log ⁡ 1 - x d x

Daí, escolhemos:

u x = l o g ⁡ ( 1 - x ) d v = ( - 1 )

Com:

v x = 1 - x

E:

d u = 1 1 - x

Assim, substituindo na expressão do método:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Temos:

- ∫ - 1 ⋅ log ⁡ 1 - x d x = - 1 - x log ⁡ 1 - x - ∫ 1 - x ⋅ 1 1 - x d x

=   - 1 - x log ⁡ 1 - x - ∫ 1 ⋅ d x

Resolvendo a integral, temos:

=   - 1 - x log ⁡ 1 - x - x

Portanto:

∫ log ⁡ 1 - x d x = x - 1 - x log ⁡ 1 - x + C

Lembrando que esse log sem base embaixo é o próprio l n , beleza?

E aí, curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

x - 1 - x log ⁡ 1 - x + C

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Calcule a integral.int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x
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Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x