Responda os itens com respeito à integral I = 2 π ∫ 0 1 x e x d x .

a) Utilize a fórmula de integração por partes fazendo u = x e d v = e x d x e determine o valor da integral.

b) Utilize a fórmula de integração por partes fazendo u = e x e d v = x d x e comente por que essa escolha não é boa.

c) A integral I representa o volume de um sólido gerado pela de revolução de uma região, em torno do eixo O y . Descreva as curvas que delimitam essa região no plano.

Passo 1

Iae, meus queridos! Tudo certinho?

Muito bacana essa questão onde vamos trabalhar com integral por partes e vamos ver como é importante ter um bom feeling na hora de escolher as partes u e d v da nossa integral.

Para essa questão, temos que calcular a integral I por meio do método de integração por partes, onde

∫ u d v = u · v - ∫ v d u

No item a) vamos considerar u = x , d v = e x d x e calcular a integral I .

Tendo u e d v , vamos calcular d u e v

d u d x = d x d x = 1 → d u = 1 d x

v = ∫ d v = ∫ e x d x → v = e x

Substituindo os valores que calculamos na formula da integral por partes, temos

∫ u d v = x · e x - ∫ e x · 1 d x

∫ u d v = x · e x - e x

∫ u d v = e x x - 1

Substituindo nos intervalos de integração

I = 2 π e x x - 1 ​ x = 0 1 = 0 - - 2 π = 2 π

I = 2 π

Passo 2

No item b) vamos considerar u = e x , d v = x d x .

Tendo u e d v , vamos calcular d u e v

d u d x = d e x d x = e x → d u = e x d x

v = ∫ d v = ∫ x d x → v = x 2 2

Substituindo os valores que calculamos na formula da integral por partes, temos

∫ u d v = e x · x 2 2 - ∫ x 2 2 · e x d x

∫ u d v = e x · x 2 2 - e x · x 2 2 - x e x + e x

∫ u d v = e x x - 1

Embora tenhamos chegado no mesmo valor final, o percurso foi mais trabalhado, já que a integral ∫ x 2 2 · e x d x deu mais trabalho de ser resolvida por não ter uma solução trivial, como no item a). Portanto essa escolha das partes de integração não é muito bacana.

Passo 3

No item c) a função a ser revolucionada em torno do eixo y , é f x = x e x , como vemos em sua demonstração em duas dimensões.

Com o x variando de 0 a 1 e o y variando de 0 a e , formando uma figura assim após a revolução

Algo parecido com o bico de um avião, que vai da origem do sistema até o plano y = e

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

a) I = 2 π .

b) Não é bacana por se tratar de um caminho mais trabalhoso para resolver a integral.

c) Imagem no passo-a-passo.

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int_()^() z^3 e^z d z
Calcule a integral.int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x
Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 20 - ∫ t g - 1 x x 2d x
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x