Usando integração por parte determine as seguintes fórmulas de recorrência

∫ c o s n ( x ) d x = c o s n - 1 x s e n x n + n - 1 n ∫ c o s n - 2 ( x ) d x ,   n = 1,2 , …

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Bom, antes de tudo, a gente precisa entender como que usa a integração por partes.

De vez em quando, a gente vai esbarrar com algumas integrais que não vão ser tão simples de resolver, e ai a integração por partes nos ajuda bastante. Existe uma formula que vai nos ajudar:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

E no caso, vamos ter que:

u   e   v → S ã o   f u n ç õ e s

Certo? Show de bola. E agora vamos ver como essa regrinha se aplica ao nosso exercício

Passo 2

Show galera, vamos lá. Teremos:

∫ c o s n ( x ) d x

Nesse caso, nós temos que decidir quem vai ser o u e quem vai ser o d v . Mas se a gente olhar muito bem ali, nós só temos 1 função, certo? Então vamos tornar isso um pouco melhor:

∫ c o s n - 1 x . c o s x d x

Ok, agora que nós temos 2 funções multiplicando, vamos poder usar a Integração por partes:

u = c o s n - 1 x → d u = n - 1 c o s n - 2 x - s e n x d x

d v = c o s x d x → v = s e n ( x )

Show, agora, usando a nossa fórmula do Passo 1, vamos ter:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ c o s n - 1 x . c o s x d x = c o s n - 1 x s e n x - ∫ s e n ( x ) n - 1 c o s n - 2 x - s e n x d x

Ficou algo imenso né? Vamos dar uma arrumada pra facilitar a nossa vida.

c o s n - 1 x s e n x - ∫ s e n x n - 1 c o s n - 2 x - s e n x d x = c o s n - 1 x s e n x + n - 1 ∫ s e n ² ( x ) c o s n - 2 x d x

Passo 3

Vamos melhorar ainda mais. Para isso, importante lembrar da seguinte identidade trigonométrica:

s e n 2 x + c o s 2 x = 1

s e n 2 x = 1 - c o s ² ( x )

Para não ficar repetindo muita coisa, vamos pegar aqui somente o que está depois do sinal de igual ta?

= c o s n - 1 x s e n x + n - 1 ∫ s e n ² ( x ) c o s n - 2 x d x

Vamos substituir:

= c o s n - 1 x s e n x + n - 1 ∫ 1 - c o s 2 x c o s n - 2 x d x

= c o s n - 1 x s e n x + n - 1 ∫ c o s n - 2 x - c o s n x d x

Aqui, vamos separar essas duas integrais:

= c o s n - 1 x s e n x + n - 1 ∫ c o s n - 2 x d x - n - 1 ∫ c o s n x d x

Opa opa, repararam o que achamos aqui no final? Achamos a MESMA integral que começamos lá no inicio do Passo 2. O que isso significa? Que erramos? Talvez (brincadeira kk). Mas se trata de uma integral circular. Vamos passar essa parte da integral para a esquerda com sinal contrário.

Passo 4

∫ c o s n ( x ) d x = ∫ c o s n - 1 x . c o s x d x = c o s n - 1 x s e n x + n - 1 ∫ c o s n - 2 x d x - n - 1 ∫ c o s n x d x

Passando n - 1 ∫ c o s n x d x pro outro lado:

∫ c o s n ( x ) d x + n - 1 ∫ c o s n x d x = c o s n - 1 x s e n x + n - 1 ∫ c o s n - 2 x d x

Simplificando na esquerda:

n ∫ c o s n x d x = c o s n - 1 x s e n x + n - 1 ∫ c o s n - 2 x d x

Dividindo tudo por n :

∫ c o s n x d x = c o s n - 1 x s e n x n + n - 1 n ∫ c o s n - 2 x d x

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o

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