Usando integração por parte determine as seguintes fórmulas de recorrência

∫ s e n n ( x ) d x = - s e n n - 1 x c o s x n + n - 1 n ∫ s e n n - 2 ( x ) d x ,   n = 1,2 , …

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Bom, antes de tudo, a gente precisa entender como que usa a integração por partes.

De vez em quando, a gente vai esbarrar com algumas integrais que não vão ser tão simples de resolver, e ai a integração por partes nos ajuda bastante. Existe uma formula que vai nos ajudar:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

E no caso, vamos ter que:

u   e   v → S ã o   f u n ç õ e s

Certo? Show de bola. E agora vamos ver como essa regrinha se aplica ao nosso exercício

Passo 2

Show galera, vamos lá. Teremos:

∫ s e n n ( x ) d x

Nesse caso, nós temos que decidir quem vai ser o u e quem vai ser o v . Mas se a gente olhar muito bem ali, nós só temos 1 função, certo? Então vamos tornar isso um pouco melhor:

∫ s e n n - 1 x . s e n x d x

Ok, agora que nós temos 2 funções multiplicando, vamos poder usar a Integração por partes:

u = s e n n - 1 x → d u = n - 1 s e n n - 2 x c o s x d x

d v = s e n x d x → v = - c o s ( x )

Show, agora, usando a nossa fórmula do Passo 1, vamos ter:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ s e n n - 1 x . s e n x d x = - s e n n - 1 x cos ⁡ x + n - 1 ∫ c o s ² ⁡ ( x ) s e n n - 2 x d x

Vamos melhorar, para isso importante lembrar da seguinte identidade trigonométrica:

s e n 2 x + c o s 2 x = 1

c o s 2 x = 1 - s e n ² ( x )

Vamos substituir:

∫ s e n n - 1 x . s e n x d x = - s e n n - 1 x cos ⁡ x + n - 1 ∫ 1 - s e n 2 x s e n n - 2 x d x

∫ s e n n - 1 x . s e n x d x = - s e n n - 1 x cos ⁡ x + n - 1 ∫ s e n n - 2 x - s e n n x d x

Aqui, vamos separar essas duas últimas integrais:

∫ s e n n - 1 x . s e n x d x = - s e n n - 1 x cos ⁡ x + n - 1 ∫ s e n n - 2 x d x - n - 1 ∫ s e n n x d x

Opa opa, repararam o que achamos aqui no final? Achamos a MESMA integral que começamos lá no inicio do Passo 2. O que isso significa? Que erramos? Talvez (brincadeira kk). Mas se trata de uma integral circular. Vamos passar essa parte da integral para a esquerda com sinal contrário:

∫ s e n n ( x ) d x = ∫ s e n n - 1 x . s e n x d x = - s e n n - 1 x cos ⁡ x + n - 1 ∫ s e n n - 2 x d x - n - 1 ∫ s e n n x d x

∫ s e n n ( x ) d x + n - 1 ∫ s e n n x d x = - s e n n - 1 x cos ⁡ x + n - 1 ∫ s e n n - 2 x d x

Simplificando na esquerda:

n ∫ s e n n ( x ) d x = - s e n n - 1 x cos ⁡ x + n - 1 ∫ s e n n - 2 x d x

Dividindo tudo por n :

∫ s e n n ( x ) d x = - s e n n - 1 x cos ⁡ x n + n - 1 n ∫ s e n n - 2 x d x

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o

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Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x