Usando recursivamente a integração por parte obtenha as seguintes fórmulas de recorrências

I 0 = ∫ cos ⁡ x d x = s e n ( x ) I 1 = ∫ x cos ⁡ x d x = x s e n x + c o s ⁡ ( x ) I m = ∫ x m cos ⁡ x d x = x m s e n x + m x m - 1 cos ⁡ x - m m - 1 I m - 2 ,   m ≥ 2

J 0 = ∫ sen ⁡ x d x = - c o s ( x ) J 1 = ∫ x sen ⁡ x d x = x s e n x + c o s ⁡ ( x ) J m = ∫ x m s en ⁡ x d x = - x m c o s x + m x m - 1 s en ⁡ x - m m - 1 J m - 2 ,   m ≥ 2

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos começar encontrando a fórmula de recorrência da integral do sen(x):

∫ x m sen ⁡ x d x

E para resolvermos, temos que usar integração por parte:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Show, com isso podemos resolver a primeira parte do nosso exercício.

Passo 2

Vamos começar a calcular:

∫ x m sen ⁡ x d x

u = x m → d u = m x m - 1 d x

d v = s e n x d x → v = - c o s ⁡ ( x )

Substituindo:

∫ x m sen ⁡ x d x = x m - cos ⁡ x - ∫ - cos ⁡ x m x m - 1 d x

Vamos dar uma pequena arrumada:

∫ x m sen ⁡ x d x = - x m cos ⁡ x + m ∫ cos ⁡ x x m - 1 d x

Ok, mas e agora? Bom, vamos ter que fazer a mesma integração por parte agora na segunda integral:

∫ cos ⁡ x x m - 1 d x

u = x m - 1 → d u = ( m - 1 ) x m - 2 d x

d v = cos ⁡ x → v = s e n ( x )

Substituindo:

∫ cos ⁡ x x m - 1 d x = x m - 1 s e n x - ∫ s e n ( x ) ( m - 1 ) x m - 2 d x

Vamos dar uma pequena arrumada:

∫ cos ⁡ x x m - 1 d x = x m - 1 s e n x - ( m - 1 ) ∫ s e n ( x ) x m - 2 d x

Opa opa, reparem que pela regra do nosso enunciado, podemos dizer que:

∫ s e n ( x ) x m - 2 d x = J m - 2

Então:

∫ cos ⁡ x x m - 1 d x = x m - 1 s e n x - ( m - 1 ) J m - 2

Estamos quase lá, vamos jogar isso no resultado que achamos antes:

∫ x m sen ⁡ x d x = - x m cos ⁡ x + m ∫ cos ⁡ x x m - 1 d x

∫ x m sen ⁡ x d x = - x m cos ⁡ x + m x m - 1 s e n x - m - 1 J m - 2

∫ x m sen ⁡ x d x = - x m cos ⁡ x + m x m - 1 s e n x - m m - 1 J m - 2

Muito legal né? Conseguimos! E para fazer para a função cosseno, o processo é exatamente o mesmo.

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o

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