Use integração por partes para calcular as integrais abaixo.

e )   ∫ x ³ e - x d x

Passo 1

E aiii, xuxus!! Quais as novidades? A que eu tenho pra vocês é que vão tirar 10 nessa matéria :)

O nosso problema quer que calculemos a integral ∫ x ³ e - x d x utilizando o método de integração por partes. A integração por partes é equivalente a regra do produto para a diferenciação. Basicamente na nossa equação sempre vai ter uma função que vai ser mais fácil derivar enquanto que na outra função vai ser mais fácil integrar, sendo assim teremos que saber identificar cada uma dessas funções para conseguir utilizar a regra da integração por partes que diz:

∫ u d v   =   u ⋅ v   -   ∫ v d u

Passo 2

Então o primeiro passo é identificar quem vai ser o meu u , ou seja, a função mais fácil de derivar e quem será meu v que será a função mais fácil de se integrar. Sabendo dessas informações o nosso problema fica mais simples. Bora lá!

∫ x ³ e - x d x

Escolheremos o u de acordo com a ordem do nosso macete : LIATE

Logarítmica ( l n   x )

Inversa trigonométrica ( a r c s e n   x ,   a r c t g   x ,   . . . )

Algébrica ou polinomial ( x ² )

Trigonométrica( s e n   x ,   c o s   x , …)

Exponencial ( e x )

Sendo assim, observa-se que a função mais fácil de se derivar é x ³ .

E a de se integrar é e - x d x

Agora que encontramos cada uma basta utilizar a fórmula dada no passo anterior.

Passo 3

∫ u d v   =   u ⋅ v   -   ∫ v d u

Dessa forma podemos afirmar que

x ³ ⋅ ( - e - x )   +   ∫ e - x ⋅ 3 x ² d x

x ³ ⋅ ( - e - x )   +   3 ∫ e - x x ² d x

Percebam que teremos que fazer novamente uma integração por partes em ∫ e - x x ² d x .

Passo 4

Bom, nossa missão agora é utilizar novamente a regra de integração por partes para encontrar o valor de ∫ e - x x ² d x , após descobrir esse valor poderemos dar continuidade no cálculo do passo anterior. Olhando novamente nossa tabelinha do LIATE, temos que o nosso u agora será x ² , ou seja, essa função é mais fácil de se derivar.

Sendo assim, a função mais fácil de se integrar será e - x d x

Assim,

∫ e - x x ² d x   =   x ² ( - e - x )   -   ∫ - e - x 2 x d x

=   x ² ( - e - x )   +   2 ∫ e - x x d x

E novamente deveremos integrar por partes!

Passo 5

Agora, precisamos descobrir o valor da ∫ e - x x d x por meio do método de integração por partes. Bom, vocês já sabem o procedimento né?! Vamos chamar u   =   x e d v   = e - x d x   .

Como já calculamos d v   = e - x d x várias vezes hoje, iremos agora atrás só de u .

Desse modo,

∫ e - x x d x =   x ( - e - x )   -   ∫ - e - x d x

=   x ( - e - x )   - e - x

Ufaaaa! Agora precisamos voltar aos passos anteriores para determinar os cálculos, quase não acaba hahaha

Voltando ao passo 4…

∫ e - x x ² d x =   x ² ( - e - x )   +   2 ∫ e - x x d x  

=   x ² ( - e - x )   +   2 (   - x e - x   - e - x )

- e - x   ( x ² + 2 x + 2 )

E agora finalmente voltando ao passo 3…

∫ x ³ e - x d x   = x ³ ⋅ ( - e - x )   +   3 ∫ e - x x ² d x  

= x ³ ⋅ ( - e - x )   +   3 ( - e - x   ( x ² + 2 x + 2 ) )

=   - e - x ( x ³ + 3 x ² + 6 x + 6 )

Não fizemos essa questão gigantesca pra morrer na praia né? Falta adicionar a constante de integração!

∫ x ³ e - x d x   = - e - x ( x ³ + 3 x ² + 6 x + 6 )   +   K , com K   ∈   ℝ .

Resposta

∫ x ³ e - x d x   = - e - x ( x ³ + 3 x ² + 6 x + 6 )   +   K , com K   ∈   ℝ .

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