Use o método de integração por partes para calcular as integrais abaixo.

Passo 1

Beleza pessoal?! Espero que estejam todos bem e super dispostos para darmos início a mais uma resolução com o padrão Responde Aí de qualidade.

Já sabemos pelo enunciado da questão que as integrais que iremos resolver utilizarão a técnica de integração por partes, isso significa que para uma integração mais facil para a gente devemos escolher bem que será o nosso u   e   d v .

Passo 2

A nossa integral é a,

∫ arctan ⁡ x d x

Vajamos que, se chamarmos de u = arctan ⁡ x e d v = d x , teremos d u = 1 x 2 + 1 e v = x

Obtemos então que,

∫ arctan ⁡ x d x = x arctan ⁡ x - ∫ 1 x 2 + 1 x d x

Passo 3

A segunda integração que temos que resolver pode ser resolvida com uma substituição adequada, vamos tentar w = 1 + x 2 e d w = 2 x d x ,

∫ arctan ⁡ x d x = x arctan ⁡ x - 1 2 ∫ 1 w d w

= x arctan ⁡ x - 1 2 ln ⁡ w + C

= x arctan ⁡ x - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 + C

E aqui terminamos nossa resolução, antes de colocar a mão na massa em uma integração, é sempre bom pensar bastante sobre quais técnicas de resolução utilizar e sobre as possíveis substituições a fazer. Um forte abraço e até a próxima.

Resposta

x arctan ⁡ x - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 + C

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