O valor de

∫ 0 π 2 / 324 e 9 x   d x

é:

a) π - 1 e π / 2 + 1 81

b) 9 2 - π e π / 2 - 2

c) 2 - π e π / 2 - 2

d) π - 2 e π / 2 + 2

e) π - 2 e π / 2 + 2 81

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Precisamos calcular a integral

I = ∫ 0 π 2 / 324 e 9 x   d x

Vamos começar com uma mudança de variável:

t = 9 x

Quando x = 0 , temos t = 0 . Já quando x = π 2 / 324 , temos

t = 9 ⋅ π 2 324 = 9 π 18 = π 2

Além disso, tomando a derivada:

d t = d t d x d x = 9 2 x d x

Como x = t / 9 , segue que

d t = 9 2 t / 9 d x → d x = 2 t 81 d t

Fazendo todas as substituições na integral:

I = ∫ 0 π / 2 e t ⋅ 2 t 81   d t = 2 81 ∫ 0 π / 2 t   e t   d t

Passo 2

O próximo passo é achar a primitiva

∫ t   e t   d t

Para isso, usamos integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Vamos tomar u = t e d v = e t   d t , de modo que

d u = d t           e           v = e t

Assim,

∫ t   e t   d t = t   e t - ∫ e t   d t = t   e t - e t

Passo 3

Com isso, a integral definida fica

I = 2 81 t e t - e t 0 π / 2

Fazendo as substituições:

I = 2 π 2 e π / 2 - e π / 2 - 2 0 - e 0 81

Portanto, fazendo as distributivas:

I = π - 2 e π / 2 + 2 81

Note que isso é exatamente o que temos na alternativa E 😉!

Resposta

Alternativa E.

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Calcule a integral.int_()^() z^3 e^z d z
Calcule a integral.int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x
Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 20 - ∫ t g - 1 x x 2d x
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x