(Cap. 15. Problemas Desafiadores - Ex.82)Um escafandrista está suspenso 100 m abaixo da superfície do Lago Ness por um cabo preso a um barco na superfície do lago (Figura 15.40). O mergulhador e seus equipamentos possuem massa total de 120 k g e ocupam um volume igual a 0,0800 m 3 . O cabo possui diâmetro igual a 2,0   c m e a densidade linear μ = 1,10 k g m . O mergulhador imagina que viu algo se movendo nas profundezas escuras do lago e sacode a extremidade do cabo , produzindo ondas transversais que sobem através do cabo para sinalizar a seus companheiros que estão no barco.

a) Qual é a tensão no cabo em sua extremidade inferior presa ao mergulhador? Não se esqueça de incluir a força de empuxo que a água (densidade igual a 1000 k g m 3 ) exerce sobre ele.

b) Calcule a tensão no cabo a uma distância x acima do mergulhador. A força de empuxo que a água exerce sobre o cabo deve ser incluída.

c) A velocidade de propagação de uma transversal é dada por v = F μ , equação (15.13). Portanto, a velocidade varia ao longo do cabo, visto que a tensão não é constante. (Esta relação despreza a força de amortecimento que a água exerce sobre o cabo que se move.) Integre para achar o tempo que o primeiro sinal leva para atingir a superfície.

Passo 1

Fala aí gente, tudo belezinha? Espero que sim

Bom, a situação que temos no nosso problema é a de um mergulhador (escafandrista) que está submerso pelas águas do Lago Ness conectado por um cabo que se encontra preso em uma embarcação. De maneira geral, o que precisamos fazer aqui é calcular a força resultante para vários segmentos do cabo de acordo com o que for solicitado nas alternativas. As forças que existem nesse problema são: o peso do mergulhador, o peso do segmento do cabo, a tensão no cabo e a força de flutuação (empuxo).

A força de empuxo de um objeto completamente submerso na água é:

B = ρ á g u a V g

Lembrando que ρ á g u a é a densidade da água, V é o volume do fluído deslocado e por fim, g representa a gravidade.

Passo 2

a)Bom, essa alternativa deseja encontrar a tensão no cabo em sua extremidade inferior presa ao mergulhador. Logo como queremos saber só a tensão na extremidade do cabo, basta olharmos para as forças presentes apenas nessa situação que é a força de tensão no cabo, a força peso do mergulhador e a força de empuxo.

A tensão na extremidade na qual o mergulhador está, pode ser calculada a partir da diferença entre o peso do mergulhador e o empuxo da água.

F = m g − B = m − ρ á g u a V g

Substituindo os valores:

F = 120 k g − 1000 k g m 3 0,0800 m 3 9,8 m s 2 = 392 N

Passo 3

b)Agora a questão já deseja saber a tensão no cabo a uma distância x acima do mergulhador, ou seja, o que muda aqui em relação ao item (a) é que agora precisamos incluir o peso do cabo que está entre o mergulhador e o ponto x .

F x = F + F c a b o

E a força do cabo é o peso do pedaço do cabo correspondente ao comprimento x menos a força de empuxo da água.

F x = F + μ x g − ρ á g u a V g = F + μ x g − ρ á g u a A x g

Substituindo os valores temos:

F x = 392 N + 1,1 k g m − 1000 k g m 3 π 1,00 ⋅ 10 − 2 m 2 9,8 m s 2 x

F x = 392 N + 7,70 N m x

Passo 4

c) Primeiramente podemos escrever a função da tensão em relação a x da seguinte forma:

F x = 392 N + 7,70 N m x = F + a x

De acordo com o enunciado v = F μ , desta forma a velocidade da onda em função de x será:

v x = d x d t = F + a x μ

Fazendo uma separação de variáveis para poder integrar e encontrar o tempo, obtemos:

t = ∫ d t = ∫ μ F + a x d x = μ ∫ 0 L d x F + a x

t = μ 2 a F + a L − μ 2 a F + a 0 = 2 a μ F + a L − F

Substituindo os valores:

t = 2 1,1 k g m 7,7 N m 392   N + 7,70 N m 100 m − 392 N = 3,98 s

E aí bora treinar mais? Logo, você vai tá expert!

Resposta

a) F = 392 N

b) F x = 392 N + 7,70 N m x

c) t = 3,98 s

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