Exercícios Resolvidos de Introdução a Ondas

Ondas Harmônicas

Uma onda senoidal transversal com λ = 20   cm está se propagando no sentido de x crescente. O deslocamento da partícula em x = 0 , a partir do equilíbrio e em função do tempo, é mostrado na figura.

  1. Faça um esboço da onda no instante t = 0 no trecho contido entre os pontos x = 0 e x = 40   cm . Indique claramente a amplitude, o comprimento de onda e o sinal da derivada em x = 0 , t = 0 .
  2. Qual a velocidade de propagação da onda?
  3. Escreva a função y x , t que descreve a onda em qualquer x e t .
  4. Calcule a velocidade transversal da partícula em x = 0 e t = 5   s

Passo 1

a)

Como ele quer a onda até x = 40   cm vamos ter dois comprimentos de onda, lembrando que

λ = 20   cm

A = 4   cm

A derivada que ele quer é

∂ y ∂ x

Lembrando que a equação da onda harmônica se deslocando para direita fica

y = A sen ⁡ k x - ω t + ϕ 0

onde:

k = 2 π λ   ; ω = 2 π f

Derivando isso em relação a x vamos ter

∂ y ∂ x = A k cos ⁡ k x - ω t + ϕ 0

Em x = 0 , t = 0 , vamos ter

∂ y ∂ x = A k cos ⁡ ϕ 0

Não sabemos o sinal desse seno, o gráfico que temos pode nos dizer a derivada dessa função, porque vamos para a derivada em relação ao tempo? Olha como ela fica,

∂ y ∂ t = - ω A cos ⁡ k x - ω t + ϕ 0

∂ y ∂ t = - ω A cos ⁡ k x - ω t + ϕ 0

Pelo gráfico a função é crescente na origem e no inicio do movimento então a derivada é positiva

∂ y ∂ t = - ω A cos ⁡ ϕ 0 > 0

O que implica

cos ⁡ ϕ 0 < 0

Que nos faz concluir que

∂ y ∂ x = A k cos ⁡ ϕ 0 < 0

∂ y ∂ x < 0

Isso nos diz que o gráfico inicialmente é decrescente, então a função fica

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Pelo desenho no enunciado conseguimos perceber que o período da onda vai ser

T = 10   s

Dessa forma a frequência é

f = 1 T = 1 10 = 0,1   Hz

A velocidade de propagação então fica

v = λ f

v = 0,2 ∙ 0,1 = 0,02   m/s

Passo 3

c)

Já vimos que a equação da função vai ser

y = A sen ⁡ k x - ω t + ϕ 0

Temos que achar cada constante dessa fórmula

A amplitude já sabemos

A = 4   cm

Vamos achar k e ω

k = 2 π λ = 2 π 20

k = π 10   c m -1

ω = 2 π f = 2 π ∙ 0,1

ω = π 5

Passo 4

Falta achar ϕ 0

Em x = 0 , t = 0 sabemos o valor de y

y = A sen ⁡ k x - ω t + ϕ 0

0 = A sen ⁡ 0 - 0 + ϕ 0

sen ⁡ ϕ 0 = 0

Então devemos ter a fase tal que

sen ⁡ ϕ 0 = 0

cos ⁡ ϕ 0 < 0

Como vimos ali no passo 1. Isso nos diz o valor desse angulo

ϕ 0 = π

A equação fica

y = 4 sen ⁡ π 10 x - π 5 t + π

Com y em centímetros.

Passo 5

d)

A velocidade transversal nada mais é que a derivada no ponto que ele pediu.

Basta derivar em relação ao tempo a equação do passo 4

y = 4 sen ⁡ π 10 x - π 5 t + π

∂ y ∂ t = - π 5 ∙ 4 cos ⁡ π 10 x - π 5 t + π

∂ y ∂ t = - 4 π 5 cos ⁡ π 10 x - π 5 t + π

Basta agora colocar x = 0 e t = 5   s

∂ y ∂ t = - 4 π 5 cos ⁡ π 10 0 - π 5 5 + π

∂ y ∂ t = - 4 π 5 cos ⁡ - π + π

∂ y ∂ t = - 4 π 5 cos ⁡ 0

E o seno desse angulo vai ser - 1

∂ y ∂ t = - 4 π 5   cm/s

Resposta

  1. λ = 20   cm
  2. A = 4   cm

    ∂ y ∂ x < 0

  3. v = 0,02   m/s
  4. y = 4 sen ⁡ π 10 x - π 5 t + π
  5. ∂ y ∂ t = - 4 π 5   cm/s

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