Exercícios Resolvidos de Introdução a Ondas

Em uma corda é observada uma onda cuja função de onda é dada por:

y x , t = 4 ,   20   s e n   ( 0 ,   200   x )   c o s   ( 10,0 t   ) ,

onde x e y   estão em centímetros e t em segundos. Determine:

  1. O comprimento de onda e a frequência das duas ondas progressivas que formam a onda y ( x , t ) , acima;
  2. A velocidade de propagação das ondas na corda;
  3. As funções de onda, y 1 ( x , t ) e y 2 ( x , t ) , das duas ondas que geram a onda y ( x , t ) ,   acima;
  4. A posição dos nós na corda;
  5. Mostre que a onda y ( x , t ) obedece à equação de onda.
  6. Sabendo que a corda está vibrando no quarto harmônico, com extremidades fixas, represente graficamente a onda e determine o comprimento da corda.

Passo 1

A) Bom, nós sabemos lá da introdução a ondas que a equação da onda harmônica é algo do tipo:

y = A c o s ( k x ± w t + ϕ ) ,

Observando a equação podemos extrair dados como k e w da nossa equação. Onda k = 0,2 e w = 10 .

E o comprimento e a frequência de uma onda é dado por, λ = 2 π k e     f = w 2 π respectivamente.

Então basta substituirmos os valores dados no enunciado na fórmula para que obtenhamos λ e f .

λ = 2 π k = 2 π 0,2 c m = 31,4 c m

f = w 2 π = 10 2 π H z = 1,59 H z

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

B) A velocidade de propagação de uma onda, se da por:

v = w k = 10 0,2 = 50 c m / s

Passo 3

C) Para resolver esse tópico, temos de lembrar das propriedades do seno. Quando somamos: s e n A + s e n B = 2 s e n A + B 2   cos ⁡ A - B 2 ,

Portanto, podemos descrever as duas equações como:

y 1 x , t = 2,1 s e n ( 0,2 x - 10 t )

y 2 x , t = 2,1 s e n ( 0,2 x + 10 t )

Passo 4

D) Para acharmos os nós na corda, é necessário verificar a amplitude é zero, ou seja, a nossa equação y ( x , t ) tem de ser igual a zero.

s e n 0,2 x = 0

Pela equação:

k x = n π , obtemos:

0,2 x = n π

x = 5 n π

n = ± 0 ,   ± 1 , ± 2 …

Passo 5

E) A equação da onda da onda é dada por:

∂ 2 y ∂ x 2 = 1 v 2 d 2 y d t 2   ;

Portanto precisamos achar as derivamos e substitui-las posteriormente para comprovar que a onda y ( x , t ) obedece a equação. As derivadas são:

∂ y ∂ x = 0,84 cos ⁡ 0,2 x cos ⁡ 10 t ;

∂ 2 y ∂ x 2 = - 0,168 s e n 0,2 x c o s ⁡ 10 t ;

∂ y ∂ t = - 42 sen ⁡ 0,2 x sen ⁡ 10 t ;

∂ 2 y ∂ t 2 = - 420 sen ⁡ 0,2 x cos ⁡ 10 t ;

Substituindo as derivadas acima na equação da onda, temos:

- 0,168 c m - 1 s e n 0,2 x cos ⁡ 10 t = - 420 50 2 c m - 1 s e n 0,2 x cos ⁡ 10 t      

Passo 6

F)

Como L = 2 λ , obtemos que L = 62,8 c m

Resposta

A)   λ = 31,4 c m e f = 1,59 H z

B)   v = 50 c m / s

C) y 1 x , t = 2,1 s e n ( 0,2 x - 10 t ) ; y 2 x , t = 2,1 s e n ( 0,2 x + 10 t )

D)   n = ± 0 ,   ± 1 , ± 2 …

E) - 0,168 c m - 1 s e n 0,2 x cos ⁡ 10 t = - 420 50 2 c m - 1 s e n 0,2 x cos ⁡ 10 t

F) L = 62,8 c m

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