A figura abaixo mostra a aceleração transversal a y em função do tempo t do ponto x = 0 de uma corda, quando uma onda com a forma geral y x , t = A s e n k x - ω t + φ passa pelo ponto. A escala do eixo vertical é definida por a s = 400 m / s ² . Qual é o valor de φ ?

Passo 1

Sendo: y x , t = A s e n k x - ω t + φ

Podemos dizer que:

∂ y x , t ∂ t = - ω A c o s k x - ω t + φ

Derivando mais uma vez para acharmos a aceleração transversal chegamos a:

∂ ( - ω A c o s k x - ω t + φ ) ∂ t = - ω ² A s e n ( k x - ω t + φ )

Passo 2

Como x = 0 :

a = - ω ² A s e n ( - ω t + φ )

Já que seno varia de - 1 até 1 :

ω ² A = a m á x i m o

Pelo gráfico da figura, a m á x i m o = a s = 400 m / s ² .

Passo 3

Pelo gráfico podemos ver também que quando t = 0 , a = - 100 m / s ² .

Logo:

- 100 = - 400 s e n φ

φ = sen - 1 ⁡ 1 4

φ = 14,47 ° ou φ = 180 ° - 14,47 ° = 165,53 °

φ = 0,25   r a d ou φ = π - 0,25 = 2,9   r a d

Passo 4

Pra saber qual o valor correto da constante de fase, podemos fazer:

∂ a 0 , t ∂ t = ω 3 A cos ⁡ - ω t + φ

Como essa derivada acima é igual a inclinação da tangente na curva, no ponto t = 0 , temos que a curva é decrescente, logo:

∂ a 0,0 ∂ t = ω 3 A cos ⁡ φ < 0

Assim:

φ = π - 0,25 = 2,9   r a d

É importante lembrar que quando acrescentamos n 2 π , sendo n qualquer número inteiro, o ângulo também é válido como resposta.

Resposta

φ = 2,9   r a d

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