Exercícios Resolvidos de Introdução a Ondas

Uma onda senoidal se desloca numa corda com velocidade 3,7 m/s no sentido negativo do eixo x.

As cristas da onda passam cinco vezes por segundo pelo ponto x = 0. No instante t = 0, esse ponto da corda está deslocado para cima de 0,5m com respeito à sua posição de equilíbrio. Este valor corresponde à metade do deslocamento que é atingido quando a crista passa por lá.

Baseado nessas informações, qual é a expressão matemática que descreve esta onda?

a) D ( x , t )   =   ( 1,0   m )   s e n   [ 8,49   x   +   31,4   t   +   π / 6 ]

b) D ( x , t )   =   ( 0,5   m )   s e n   [ 1,35   x   +   5   t   +   π / 2 ]

c) D ( x , t )   =   ( 1,0   m )   s e n   [ 1,35   x   -   5   t   +   π / 6 ]

d) D ( x , t )   =   ( 0,5   m )   s e n   [ 8,49   x   -   31,4   t   +   π / 2 ]

e) D ( x , t )   =   ( 1,0   m )   s e n   [ 8,49   x   -   31,4   t   +   π / 6 ]

Passo 1

A equação geral para o deslocamento de uma onda é:

D x , t = A   s e n [ k x ± ω t + ϕ ]

Onde A é a mplitude, k o número de onda, ω a frequência angular e ϕ a constante de fase.

Usamos – ω t se a onda se propaga no sentido positivo de x e + ω t se ela se desloca no sentido negativo de x.

Como a onda se desloca no sentido negativo de x, vamos usar + ω t .

A frequência angular é

ω = 2 π f = 2 π T

O número de onda é

k = 2 π λ

E a velocidade da onda é

v = λ f = ω k

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A questão diz que metade do deslocamento máximo é 0,5 m, então a amplitude é

A = 1   m

Sabemos que as cristas passam cinco vezes por segundo, ou seja

f = 5   s - 1

Logo,

ω = 2 π f = 10 π ≅ 31,4   r a d / s

Como a velocidade da onda é 3,7 m/s, podemos tirar o número de onda:

v = ω k

k = ω v = 31,4 3,7 = 8,49   r a d / m

Até então já temos a equação

D x , t = 1   m   s e n [ 8,49 x + 31,4 t + ϕ ]

Passo 3

Falta só calcular a constante de fase!

Fazemos isso olhando o valor do deslocamento no tempo t = 0 na posição x = 0 .

D x = 0 , t = 0 = 0,5   m

Substituindo isso na equação que já temos:

D x = 0 , t = 0 = 1   m   s e n ϕ = 0,5   m

s e n   ϕ = 1 2

ϕ = 30 0 = π 6

A equação final fica, então,

D ( x , t )   =   ( 1,0   m )   s e n   [ 8,49   x   +   31,4   t   +   π / 6 ]

Resposta

a) D ( x , t )   =   ( 1,0   m )   s e n   [ 8,49   x   +   31,4   t   +   π / 6 ]

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas