Uma onda senoidal se propaga ao longo de uma corda sob tensão. A figura 1 fornece a inclinação da corda ∂ y ∂ x ao longo do eixo x no instante t = 0 . Suponha que a equação da onda progressiva é do tipo y x , t = y m s e n k x ∓ ω t + φ

  1. Calcule a amplitude da onda progressiva.
  2. Calcule a constante de fase.
  3. A figura 2 mostra dois instantes diferentes de um pedaço da mesma onda progressiva da figura 1. Na figura t 1 = 1,0   s , t 2 = 1,04 s e A = 10 c m .

  4. Calcule a frequência da onda progressiva.
  5. Escreva a equação y ( x , t ) , com os valores pra y m , k ,   ω e φ , e com o sinal correto em frente a ω , baseando-se na análise das figuras 1 e 2.

Passo 1

a)

Bom, sabemos que a função de uma onda harmônica é do tipo:

y x , t = y m s e n k x ∓ ω t + φ

Então:

∂ y x , t ∂ x = k y m c o s k x ∓ ω t + φ

Sabemos que essa derivada tem um máximo quando:

∂ y x , t ∂ x = k y m

E pelo gráfico:

k y m = 0,4

Passo 2

Outra informação que podemos tirar do gráfico é acerca do comprimento de onda. Pelo gráfico, vemos que os picos se repetem a cada 0,5 m . Isso quer dizer que a cada 0,5 m a onda completa um ciclo, o que quer dizer que:

λ = 0,5 m

E como:

k = 2 π λ = 2 π 0,5 = 4 π

Então:

k y m = 0,4   → y m = 0,4 4 π ≅ 3,18   x 10 - 2 m

Passo 3

b)

A função da derivada nos dá:

∂ y x , t ∂ x = k y m c o s k x ∓ ω t + φ

Substituindo t = 0   e x = 0 :

∂ y 0,0 ∂ x = k y m c o s φ

Só que sabemos que nesse ponto temos:

∂ y 0,0 ∂ x = k y m   → k y m = k y m c o s φ → cos ⁡ φ = 1

Logo:

φ = 0

Passo 4

c)

Bom, o caminho pra se calcular a frequência passa por calcular a velocidade:

v = A t 2 - t 1 = 10 x 10 - 2 1,04 - 1,00 = 2,5   m / s

Então:

λ f = v   → f = v λ = 2,5 0,5 = 5,0   H z

Passo 5

d)

A equação segue o padrão:

y x , t = y m s e n k x + ω t + φ

E:

ω = 2 π f = 10 π s - 1

Então, lembrando de todas as variáveis que calculamos:

y x , t = 3,18 x 10 - 2 s e n ( 4 π x + 10 π t )

Resposta

a)

y m ≅ 3,18   x 10 - 2 m

b)

φ = 0

c)

f = 5,0   H z

d)

y x , t = 3,18 x 10 - 2 s e n ( 4 π x + 10 π t )

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