Exercícios Resolvidos de Introdução a Ondas

Uma corda tem massa m = 80 g e comprimento L = 60   c m . Ela vibra, com as duas extremidades fixas, num modo normal descrito pela função de onda:

y x , t = 8 c m s e n 5 π m - 1 x   cos ⁡ 8 π 300 s - 1 t ,

com x em metros e t   em segundos. Determine:

  1. O comprimento de onda λ desta onda.
  2. O número de ventres e a posição x de ventre.
  3. A frequência de vibração de cada ponto da corda.
  4. A tensão T a qual a corda está submetida.
  5. Determine o comprimento de onda do próximo modo normal de vibração com frequência mais alta.

Passo 1

Antes de começar a fazer o exercício de fato, vamos retirar algumas informações importantes da equação da onda. Sabemos que a equação da onda tem uma ‘cara’ do tipo:

y = A c o s k x ± ω t + ϕ

Então, da nossa equação podemos obter que: k = 5 π ; ω = 8 π / 300 .

Agora que já sabemos algumas constantes, podemos calcular o comprimento de onda da seguinte forma:

λ = 2 π k = 2 π 5 π = 0,4 m

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Passo 2

O número de ventres na onda nos diz a quantidade de cristas/vales que temos nela. Sabemos que o comprimento total da onda é de L = 60 c m , e que que cada comprimento de onda possui 2 ventres, logo:

λ 2 = 20 c m   ∴ 60 20 = 3   v e n t r e s

Portanto, os nós estão situados nas posições de x = 0 c m ,   x = 20 c m ,   x = 40 c m   e   x = 60 c m , incluindo-se as extremidades. Entre cada nó, sabemos que há um ventre, cujas posições são: x = 10 c m ,   x = 30 c m ,   x = 50 c m .

Passo 3

Já temos informações o suficiente para calcularmos a frequência da onda. Então bora calcular isso ai! A frequência da onda é dada por:

f = ω 2 π = 8 π 300 2 π = 1 75 H z

Passo 4

A gente sabe que expressão que descreve a velocidade de onda numa corda é da forma:

v = T μ = T L m

Ou seja, a tensão T a qual a corda está submetida pode ser calcula como:

T = v 2 m L = λ f 2 m L

T = 0,4 75 m 2 / s 2 2 80 × 10 - 3 k g 0,6 m =   3 , 7 × 10 - 6 N

Passo 5

Como o modo dado tem três ventres, o próximo de frequência mais alta (e comprimento de onda mais baixo) terá quatro ventres. Tendo a corda comprimento L   =   60 c m , temos que:

λ ' 2 = 60 4

λ ' = 30 c m

Resposta

a)   0,4 m

b) 3 ventres. Posições: x = 10 c m ,   x = 30 c m ,   x = 50 c m .

c) 1 75 H z

d) 3,7 × 10 - 6 N

e) 30 c m

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