Exercícios Resolvidos de Introdução a Ondas

Ondas Harmônicas

O perfil de onda transversal progressiva em uma corda muito longa é dado, em unidades do sistema internacional por:

y x , t = 2,0 . 10 - 2 cos ⁡ 2 π 0,5 x + 10 t

Sabendo que a tensão aplicada na corda é de 100 N , determine:

  1. A amplitude de vibração da corda.
  2. O comprimento de onda e a frequência (Hz).
  3. O sentido e a velocidade de propagação da onda.
  4. A distância, ao longo da corda, de dois pontos cuja defasagem é π 6 .

Passo 1

Galera, grande parte dessa questão pode ser resolvida se fizermos comparações da equação dada com a equação geral de uma onda:

y x , t = A c o s k x + ω t

Nesse caso, uma onda se propagando no sentido negativo de x .

a):

Bom, a amplitude, como vimos na fórmula geral de y ( x , t ) , é o termo que aparece multiplicando o cosseno. Nesse caso:

A = 2,0 . 10 - 2 m

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b):

A frequência pode ser obtida se obtermos a frequência angular e o comprimento de onda se obtermos o número de onda ω   e   k . Então, analisando a fórmula:

y x , t = 2,0 . 10 - 2 cos ⁡ 2 π 0,5 x + 10 t

y x , t = 2,0 . 10 - 2 cos ⁡ π x + 20 π t

Dai, pela comparação coma fórmula básica:

k = π   m - 1

ω = 20 π   r a d / s

Mas então lembramos que:

k = 2 π λ → λ = 2 π k = 2 π π = 2 m

E:

ω = 2 π f     →       f = ω 2 π = 20 π 2 π = 10   H z

Passo 3

c):

O sentido a gente pode ver pelo sinal que está na frente de ω :

Se for - , o sentido é o de x positivo.

Se for + , o sentido é o de x negativo.

No caso, o sentido é o de x negativo.

A velocidade pode ser calculada usando-se a fórmula:

k v = ω

v = ω k = 20 π π = 20   m / s

Passo 4

d):

Bom, aqui vamos lembrar que:

y x , t = A c o s k x + ω t = A c o s ( ∅ )

Então:

∅ = k x + ω t

Então:

∅ 1 = k x 1 + ω t

∅ 2 = k x 2 + ω t

Então:

∆ ∅ = ∅ 2 - ∅ 1 = k x 2 + ω t - k x 1 + ω t = k x 2 - x 1

Beleza, mas a diferença de fase entre eles é ∆ ∅ = π 6 . E, além disso, x 2 - x 1 = d , ou seja, a distância entre os pontos. Então:

π 6 = k x 2 - x 1

π 6 = π . d

d = 1 6 ≅ 0,17 m

Resposta

a):

A = 2,0 . 10 - 2 m

b):

λ = 2 m

      f = 10   H z

c):

v = 20   m / s

Sentido de x negativo.

d):

d = 1 6 ≅ 0,17 m

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