Exercícios Resolvidos de Introdução a Ondas

PUCRIO – Física 2 – 2020.1 – G2 – Discursiva

1 . Uma onda senoidal se propaga no sentido positivo do eixo- x . Na figura estamos fornecendo a densidade de energia cinética por comprimento de uma corda no instante t = 0,00   s , onde x é a posição do elemento de corda. Essa quantidade é definida como 1 2 μ u x , t 2 (onde o termo elevado ao quadrado, u ( x , t ) , é a velocidade transversal da onda na corda) e sua unidade é k g   m / s 2 . A frequência da onda é de f = 100   H z . Utilizando as informações do gráfico, encontre:

a ) O comprimento de onda λ e o número de onda k .

b ) Se a tração for de 20   N , encontre a massa específica linear μ da corda.

c ) Encontre a amplitude da onda e escreva y x , t = y m sen ⁡ ( k x ± ω t ) para essa corda.

Passo 1

Vem comigo que a gente detona com essa questão!

Ela nos dá o gráfico da densidade de energia cinética em cada ponto da corda no instante t = 0 . Essa densidade é dada por:

1 2 μ u ( x , t ) 2

Onde μ é a massa específica ou densidade linear da corda e u ( x , t ) é a velocidade transversal da onda na corda, que tem a seguinte cara:

u x , t = A ω cos ⁡ ( k x - ω t )

O item ( a ) pede que achemos λ e k , para isso vamos usar o gráfico ao nosso favor e encontraremos o k primeira usando a equação acima e depois vamos achar λ , usando o fato de que:

k = 2 π λ

⇒ λ = 2 π k

Agora para achar a massa específica μ pedida em ( b ) vamos usar a seguinte equação:

v = T μ

Onde v é a velocidade da onda na corda, T é a tração na corda e μ a massa específica que queremos encontrar. Podemos achar v usando o fato de que:

v = λ f

Para achar a amplitude pedida em ( c ) vamos usar o fato de que a velocidade máxima transversal é dada por:

u m á x = A ω

E vamos usar a informação do gráfico que a densidade de energia cinética máxima é igual a 0,01   k g   m / s 2 e ela ocorre quando u ( x , t ) é máxima, assim:

1 2 μ u m á x 2 = 0,01

⇒ u m á x = 0,02 μ

Assim, temos:

A = 1 ω 0,02 μ

O valor que ω podemos encontrar sabendo que:

ω = 2 π f

Então é só calcular e achar A . E depois para escrever a equação da posição y x , t = y m sen ⁡ ( k x ± ω t ) é substituir o que encontramos para y m , que é iguala a A , para k e ω .

Vamos nessa então!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Começando com o item ( a ) .

Olhando o gráfico vemos que em x = 0,25   m temos que a densidade de energia é zero, logo para isso acontecer temos que u x = 0,25 , t = 0 = 0 , assim usando a equação da velocidade temos que:

u x , t = A ω co s ⁡ ( k x - ω t )

⇒ u x = 0,25 , t = 0 = 0 = A ω co s ⁡ ( 0,25 k )

Assim, temos que:

co s ⁡ ( 0,25 k ) = 0

Para que isso aconteça temos que:

0,25 k = π 2

⇒ k = 2 π   m - 1

Agora podemos encontrar λ , assim como:

λ = 2 π k

⇒ λ = 2 π 2 π

Com isso temos:

λ = 1   m

Passo 3

Agora podemos começar o item ( b ) .

Como falei no passo 1 , temos a seguinte equação:

v = T μ

E usando que v = λ f vamos isolar μ , temos:

λ f = T μ

⇒ λ 2 f 2 = T μ

⇒ μ = T λ 2 f 2

Agora vamos substituir o que sabemos, temos:

μ = 20 1 2 100 2

⇒ μ = 20 10 00

E com isso temos:

μ = 0,00 2   k g / m

Passo 4

E por último vamos para o item ( c ) .

Primeiro vamos achar a amplitude, temos que:

A = 1 ω 0,02 μ

Usando que ω = 2 π f , temos:

A = 1 2 π f 0,02 μ

Agora substituindo os valores que conhecemos, temos:

A = 1 2 π ( 100 ) 0,02 0,00 2

⇒ A = 3,16 200 π

Assim temos que:

A = 0,00 5   m

Agora podemos escrever a equação da posição, ela fica da seguinte forma:

y x , t = 0,00 5 sen ⁡ ( 2 π x ± 200 π t )

E finalizamos com sucesso esse problema!

Resposta

( a )

λ = 1   m

k = 2 π   m - 1

( b )

μ = 0,002   k g / m

( c )

A = 0,005   m

y x , t = 0,005 sen ⁡ ( 2 π x ± 200 π t )

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