Exercícios Resolvidos de Introdução a Ondas

A figura abaixo apresenta a evolução temporal de um ponto, x = 0 , de uma onda senoidal propagando-se a 4,0   m / s no sentido x positivo.

a   Qual o comprimento de onda correspondente?

b Qual é a constante de fase de onda?

c Escreva a equação para os deslocamentos produzidos no meio por essa onda (em função do tempo e do espaço) .

d Qual das figuras I ,   I I ,   I I I ou I V , abaixo, representa a imagem da onda para o instante t = 0,1   s . ?

Passo 1

a   O comprimento de onda é calculado como:

v = λ f

f é frequência e pode ser escrito como o inverso do período. T é o período da onda e podemos descobir T pelo gráfico, basta observarmos quanto tempo a onda gasta para se repetir.

T = 0,2   s

v = λ T

A velocidade foi dada pelo enunciado, v = 4   m / s .

Então o comprimento de onda será:

λ = 4   .   0,2 = 0,8   m

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b Para descobrirmos a constante de fase φ primeiro temos que lembrar como é a função que descreve o movimento de uma onda.

Essa função é do tipo:

D x , t = A . s e n k x - w t + φ

Não conhecemos nem k nem w , apenas conhecemos o valor da amplitude A A = 2 pelo gráfico e a fase φ é o que queremos. Então a ideia é zerarmos k e w , pois não os conhecemos. Para isso vamos estudar a função no ponto ( x = 0 ; t = 0 ) .

D x = 0   ,   t = 0 = A . s e n k . 0 - w . 0 + φ  

D x = 0   ,   t = 0 = A . s e n φ

Vamos olhar no gráfico agora, quanto vale a função nesse ponto? Vale - 2   m m .

D x = 0   ,   t = 0 = - 2 = 2 . s e n φ

Então, chegamos que:

- 1 = s e n φ

E para quais ângulos o seno é - 1 ?

φ = 270 ° = 3 π 2

Passo 3

c   Agora temos que escrever a equação da função de onda. No item anterior terminamos de escrever a função, mas não sabíamos os valores de k nem de w . Para esse item teremos que descobrir esses valores.

A constante k da mola é dada por:

k = 2 π λ

O comprimento de onda, λ , descobrimos no item a e vale 0,8   m . Assim:

k = 2 π 0,8 = 5 2 π   r a d / m

Já a frequência de oscilação w é dada por:

w = 2 π f

Podemos escrever a frequência como inverso do período, pois este nós já sabemos T = 0,2   s .

w = 2 π 0,2 = 10 π   r a d / s

A amplitude e a constante de fase nós já sabemos, então basta escrever a função de onda:

D x , t = A . s e n k x - w t + φ

D x , t = 2 . s e n 5 2 π . x - 10 π t + 3 2 π

Passo 4

d   Agora nos foi dado 4 gráficos representando uma onda nas coordenadas A m p l i t u d e   x   c o m p r i m e n t o A .   x .

Então o primeiro passo é observar se o comprimento de onda está representado corretamente. O comprimento de onda da nossa onda é λ = 0,8   m , então uma onda mede isso, o que significa que a onda só se repetirá após 0,8   m .

Por isso podemos eliminar as opções ( I I I e I V )   já que nestas o comprimento de onda é menor, ou seja, a onda se repete antes de percorrer 0,8   m .

Agora vamos analisar a amplitude, que o que temos em comum nos dois gráficos, o enunciado diz que o gráfico representa a onda em t = 0,1   s . Nesse instante qual é a amplitude da onda? No gráfico dado lá no enunciado A . t ,   vemos que em t = 0,1   s a amplitude é 2   m m .

Boa, sabemos que o gráfico que representa a onda no espaço deve começar com a amplitude de 2   m m , pois está é a amplitude da onda no tempo estudado.

Por isso a alternativa correta é a A , pois o gráfico B começa com amplitude 0 , o que não representa a nossa onda no instante t = 0 , 1   s .

Resposta

a λ = 0,8   m

b   φ = 270 ° = 3 π 2

c   D x , t = 2 . s e n 5 2 π . x - 10 π t + 3 2 π

d   Gráfico A .

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