A função de onda para uma onda progressiva em uma corda esticada é (em unidades do SI):

Suponha que a corda possui uma massa por unidade de comprimento de 5,00 x 10 - 3   k g / m .

  1. Obtenha o comprimento de onda, a velocidade e o sentido de propagação da onda.
  2. Obtenha o valor máximo de velocidade transversal da corda. Para a posição x = 0 , em que instantes esse valor máximo ocorre? (Dê os dois primeiros, para t > 0 ) .

Passo 1

a)

Aqui, vamos identificar as variáveis que queremos comparando com a equação geral da onda:

y x , t = A c o s k x + ω t + π 4

Lembrando que:

k = 2 π λ

Então:

2 π λ = 4 π → λ = 0,50   m

E:

ω = 10 π

E o sentido da propagação é negativo, já que estamos somando a frequência angular e não subtraindo.

Passo 2

Falta ainda calcular a velocidade de propagação.

Usando a relação:

k v = ω → v = ω k = 10 π 4 π = 2,5   m / s

Passo 3

b)

Lembra como a gente calcula a velocidade transversal? É a derivada parcial daquela função lá de cima em relação ao tempo:

∂ y x , t ∂ t = v ( x , t ) = - 0,06 . 10 π s e n 10 π t + 4 π x + π 4

v x , t = - 0,6 π s e n 10 π t + 4 π x + π 4

Para x = 0 :

v 0 , t = - 0,6 π s e n 10 π t + π 4

Passo 4

Quando a velocidade terá um máximo?

Se o que queremos é o maior valor positivo, vai ser quando o “ângulo” do seno for igual a 3 π 2 , para que o seno seja igual a - 1 . Assim:

10 π t + π 4 = 3 π 2   → 10 π t = 6 π 4 - π 4

t = 5 π 4 . 1 10 π = 1 8 = 0,125   s

E esse é o tempo para o qual temos a velocidade máxima.

Quando o seno for igual a - 1 :

v m á x 0 , t = - 0,6 π . - 1 = 0,6 π = 1,88   m / s

E o segundo valor? Basta a gente acrescentar 2 π a mais em 3 π 2 :

10 π t + π 4 = 3 π 2 + 2 π

10 π t = 3 π 2 + 2 π - π 4

10 π t = 3 , 25 π → t = 0 , 3 25 s

Resposta

a)

λ = 0,50   m

v = 2,5   m / s

Sentido negativo.

b)

t = 0,125     e   t = 0 , 3 25 s

v m á x 0 , t = 1,88   m / s

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