Exercícios Resolvidos de Introdução a Ondas

PUC - RIO- FIS 2 1041– G2 2019.2

Ao longo de uma corda de tamanho L = 5,00   c m com ambas as extremidades fixas, propagam-se ondas de modo a formar uma onda resultante que obedece à expressão:

y   x , t = 4,00 m m cos ⁡ ( (   π   r a d / s )   t )   sen ⁡ ( (   2 π   r a d / c m )   x )  

(c) No eixo fornecido a seguir, faça um esboço dessa onda no instante t = 1,00 s .

d) Encontre a expressão da velocidade transversal da onda u   ( x   t ) e calcule seu valor, para o instante t = 1,00 s , nos pontos x = 0,250   c m , x = 0,500   c m e x = 0,750   c m .

Passo 1

c)

Bom, ele nos deu uma expressão e pediu o gráfico dela, quando t = 1 s .

y   x , t = 4,00 m m cos ⁡ ( (   π   r a d / s )   t )   sen ⁡ ( (   2 π   r a d / c m )   x )

Substituindo t = 1 s :

y   x , 1 = 4,00 m m cos ⁡ ( (   π   r a d / s ) 1 )   sen ⁡ ( (   2 π   r a d / c m )   x )

y   x , 1 = 4,00 m m ( - 1 ) sen ⁡ ( (   2 π   r a d / c m )   x )

y   x , 1 = ( - 4,00 m m ) sen ⁡ ( (   2 π   r a d / c m )   x )

Bom, agora é o gráfico de uma senoide. Em x = 0 , teremos y = 0 . O comprimento de onda dessa onda pode ser encontrado pelo argumento da função seno, já que identificando

k x = 2 π   r a d / c m   x

Temos k = 2 π   r a d / c m , e como k = 2 π λ , temos que

λ = 2 π 2 π = 1 c m

Então, a cada 1   c m temos um comprimento de onda inteiro, e ele começa no x = 0 .

Vamos ver se ele começa “subindo” ou “descendo”. Podemos atribuir um valor e calcular.

Para x = 1 4 = 0,25 , temos:

y   1 / 4 , 1 = ( - 4,00 m m ) sen ⁡ (   2 π r a d c m 1 4 c m )

y   1 / 4,1 = ( - 4,00 m m ) sen ⁡ ( π 2 r a d )

y   1 / 4,1 = ( - 4,00 m m ) 1

Opa! Então, quer dizer que assim que o gráfico sai do zero, ele desce. E como temos que ter 1 comprimento de onda inteiro entre x = 0 e x = 1 , temos que o esboço ficará assim:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

A velocidade transversal u x , t é a derivada em relação ao tempo da equação que descreve a posição

u x , t = d y x , t d t

Vou tirar as unidades pra não fiar muito poluído. Depois a gente volta e escreve tudo de novo, ok?

u x , t = d 4,0 cos ⁡ π t sen ⁡ 2 π x d t

Eita... essa equação parece feia. Mas olha, só tem t no termo com cosseno. o resto todo é constante e sai da derivada.

u x , t = ( 4,0 ) sen ⁡ 2 π x d cos ⁡ π t d t

Pela regra da cadeia:

u x , t = 4 , 0 sen ⁡ 2 π x - π sen ⁡ ( π t )

Em t = 1 s :

u x , t = 4,0 sen ⁡ 2 π x - π sen ⁡ ( π )

Mas sen ⁡ π = 0 , então

u x , t = 0

Então, nesse instante, as velocidades são nulas.

Resposta

c)

d) As velocidades são nulas nesse instante.

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