Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de 2 Variáveis

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Enunciado

Uma caixa retangular tem volume de 20 metros cúbicos. O material usado no lado custa R $   50,00 o metro quadrado, na parte inferior custa R $   85,00 e na parte superior custa R $   75,00 o metro quadrado. Ache:

a ) A função que representa o custo total da caixa

Passo 1

E aí gente bonita, tudo bom com vocês?

Nessa questão temos um problema de custo para construir uma caixa retangular.

A caixa retangular nada mais é do que um paralelepípedo, assim ela é formada por 3 parâmetros: largura ( L ) , comprimento ( C ) e altura ( h ) .

Mas, foi falado que o volume total da caixa é de 20 m 3 , isso nos permite colocar um desses três parâmetros em função dos outros dois.

O enunciado nos pede para determinar uma função que represente o custo total da caixa sabendo que:

- O material da parte superior custa 75   R $ / m 2 ;

- O material da parte inferior custa 85   R $ / m 2 ;

- O material no lado da caixa custa 50   R $ / m 2 ;

Beleza?

Então vamo lá, tentaremos determinar o custo em função dos parâmetros dados para a parte superior, inferior e para o lado da caixa retangular. NO final, basta somar todos esses custos para o obter o custo da caixa retangular.

Passo 2

Bom, primeiramente vamos escolher os parâmetros da nossa função. Vimos que a caixa é definida por L ,   C e h .

Como trata-se de um paralelepípedo, o volume dessa caixa vale:

L ⋅ C ⋅ h = 20

∴ h = 20 L C

Massa! Então, montaremos o nosso problema em função da largura ( L ) e do comprimento ( C ) .

Para a parte superior, temos que a área vale:

A s = L ⋅ C

Como o custo é de 75   R $ / m 2 , o custo total da parte superior vale:

c u s t o = 75 ⋅ L C   R $

Para a parte inferior, também temos a mesma área da parte superior, ou seja:

A i n f = L ⋅ C

Daí, o custo vale:

c u s t o = 85 ⋅ L C

Por fim, temos o material lateral da caixa retangular. Como temos um paralelepípedo, ele é composto por 4 faces retangulares. Duas dessas faces têm como área:

A 1 = L ⋅ h

E outras duas têm como área:

A 2 = C ⋅ h

Usando que h = 20 L C , temos:

A 1 = 20 C

E:

A 2 = 20 L

Daí, a área total lateral vale:

A L = 2 A 1 + 2 A 2

= 40 L + 40 C

= 40 L + C L C

Pra calcular o custo da parte lateral, temos:

c u s t o = 50 ⋅ 40 L + C L C

Excelente!

Passo 3

Agora que já temos os custos das três partes (lateral, superior e inferior), podemos montar a função que representa o custo total:

f L , C = c u s t o   s u p e r i o r + c u s t o   i n f e r i o r + c u s t o   l a t e r a l

= 85 L C + 75 L C + 50 ⋅ 40 L + C L C  

Ou seja:

f L , C = 160 L C + 2000 L + C L C

Excelente pessoal! Conseguimos montar a função custo!

Sacaram a ideia? Responde Aí!

Resposta

f L , C = 160 L C + 2000 L + C L C

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