Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de 2 Variáveis

Considere a função

f x , y = 1 - x 2 - y 2 + 1   ,   s e   x 2 + y 2 < 1 1   ,     s e   1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4

Definida no domínio x 2 + y 2 ≤ 4 .

Faça um esboço do gráfico de f .

Passo 1

Nossa função tem duas definições, certo?

Vamos analisar uma de cada vez e depois a gente junta as coisas.

Primeiro para quando x 2 + y 2 < 1 .

Identificar a superfície:

Fazer z = f ( x , y ) :

z = 1 - x 2 - y 2 + 1

z - 1 = 1 - x 2 - y 2

( z - 1 ) 2 = 1 - x 2 - y 2

⇒ x 2 + y 2 + ( z - 1 ) 2 = 1

Essa é a equação da esfera, com centro em ( 0,0 , 1 ) e raio igual a 1 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Mas como z = 1 - x 2 - y 2 + 1

Devemos ter z ≥ 0 . Portanto, é apenas a parte superior da esfera.

Lembrando que isso só vale para o “pedaço” do espaço que está dentro do disco x 2 + y 2 < 1 .

Passo 3

Agora, quando estamos no “pedaço” do espaço em que 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 , a nossa função assume um valor constante igual a 1 .

Passo 4

Beleza, agora vamos juntar isso.

Em verde temos a parte de cima da esfera centrada em ( 0,0 , 1 ) , dentro do disco x 2 + y 2 < 1 e em roxo temos a nossa função com um valor constante e igual a 1 na forma de um “CD”, ou seja, um disco x 2 + y 2 ≤ 4 com um buraco no meio, quando x 2 + y 2 ≥ 1 .

Resposta

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