Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de 2 Variáveis

UFF, P1 2013.2 Cálculo IIB prof. Sérgio, exercício 2

Considere a função

f x , y = x 2 25 + y 2 16 - 1

  1. Esboce o domínio de f .
  2. Esboce o gráfico de f determinando sua interseção com os eixos coordenados.

Passo 1

a)

Para achar o domínio temos que lembrar que o termo dentro da raiz quadrada não pode ser negativo! Com isso,

x 2 25 + y 2 16 - 1 ≥ 0

⇒ x 2 25 + y 2 16 ≥ 1

Opaa, peraí! Isso tá com cara de elipse!

De fato, temos que

x 2 25 + y 2 16 = 1 ⇔ x 2 5 2 + y 2 4 2 = 1

é a equação de uma elipse centrada na origem e com semieixos valendo 5 e 4 .

Como temos uma sinal de , temos que o domínio da f é tudo que está fora da elipse (ou seja, tudo que é maior ou igual a 1). Em outras palavras, será o R 2 , menos a região dentro dela.

O esboço do domínio vai ser (só vale a parte rosinha):

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Agora ele pediu o esboço do gráfico. Mas antes de resolver seguindo o enunciado, eu vou dar um bizu aqui!

Nosso reflexo tem que ser: chamar f x , y de z ! Assim vamos ter:

z = x 2 25 + y 2 16 - 1

Podemos elevar z ao quadrado (mas tem que tomar muito cuidado com isso, vou explicar o porquê depois):

⇒ z 2 = x 2 25 + y 2 16 - 1

⇒ x 2 25 + y 2 16 - z 2 = 1

Galerinha, para quem não lembra, nós temos aqui a equação de um hiperboloide de uma folha, com eixo em z . É aquele cara com forma de reator de usina nuclear:

Então fica a dica, sempre bom estar com o gráfico de algumas equações na memória, pois pode ajudar muito a resolver algumas questões!

Passo 3

Mas atenção!! Até separei um passo pra isso porque é bem importante!

A nossa função de origem é

z = x 2 25 + y 2 16 - 1

Ou seja, z ≥ 0 . Enquanto que na equação que achamos depois, do hiperboloide, z   admite valores negativos! Mas, repito, na nossa função z = f x , y não podemos ter valores negativos de z .

Portanto, o nosso gráfico vai ser na verdade só metade desse hiperboloide, só a parte acima do plano x y !

Beleza?? Tem que ficar esperto com isso!

Passo 4

Enfim, continuando e resolvendo de acordo com o enunciado! Nós temos que seguir o procedimento padrão: analisar as interseções do gráfico com os eixos coordenados.

Vamos começar zerando a variável z . Assim, podemos obter a interseção do nosso gráfico com o plano x y :

z = 0 ⇒   x 2 25 + y 2 16 = 1 ,

que é exatamente a equação da elipse que delimita o domínio da função, e que já vimos na letra a):

Beleza, vamos prosseguir!

Passo 5

Agora vamos zerar a variável x . Vamos ter:

y 2 16 - z 2 = 1

Opa, é agora que o nosso gráfico começa a justificar seu nome de hiperboloide! Pois isso nada mais é que a equação de uma hipérbole.

O seu esboço ficaria assim

Lembrando que pro nosso gráfico só vamos considerar a parte com z ≥ 0 !!

Passo 6

Agora só falta zerar o y pra ver o que tá rolando no plano x z :

y = 0 ⇒   x 2 25 - z 2 = 1

Novamente temos uma hipérbole, que vai ser um pouco mais “pontuda” que a anterior por conta desse 25 no lugar do 16 :

Vou repetir de novo, sou chato mesmo: pro gráfico a gente só vai usar a parte com z positivo!

Passo 7

Bem agora não tem jeito, é mão na massa! A partir de isso tudo que a gente viu, com determinação deve dar pra tirar um esboço decente do gráfico! Quero ver sangue no olho, que esse gráfico é chatinho de desenhar mesmo!!

Enfim, daria alguma coisa mais ou menos assim:

Viu, até no computador é chato de desenhar ;)

Resposta

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