Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de 2 Variáveis

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Enunciado

1) Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.

(f) f x , y = x 2 - 4 y 2 + 16

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema, nosso objetivo é o domínio da função f x , y = x 2 - 4 y 2 + 16 e fazer um esboço gráfico do seu domínio no plano cartesiano.

Parece difícil? Bora começar! 😉

Para determinar o domínio de uma função, temos que analisar a função e descobrir os possíveis valores que x e y são capazes de assumir para que f seja definida.

Já para esboçar o gráfico do domínio, temos que verificar para quais valores de x e y que pertence à função ou também obter restrições do domínio e excluir essas restrições do esboço...

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

A função que temos que analisar é dada por

f x , y = x 2 - 4 y 2 + 16

Nesse caso temos uma raiz e sabemos que uma raiz só é definida quando seu conteúdo é maior ou igual a 0 , ou seja

x 2 - 4 y 2 + 16 ��� 0

x 2 - 4 y 2 ≥ - 16

Simplificando a inequação

4 y 2 16 - x 2 16 ≤ 1

y 2 4 - x 2 16 ≤ 1

Dessa forma, para f existir, essa inequação deve ser satisfeita. Traduzindo isso para o domínio de f ...

D o m f x , y = f x , y ∈ R 2 y 2 4 - x 2 16 ≤ 1

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Agora para esboçar o domínio de f graficamente, vamos olhar para a restrição y 2 4 - x 2 16 ≤ 1 .

Perceba que a inequação se parece muito com a equação de uma hipérbole horizontal

y 2 b 2 - x 2 a 2 = 1

Mas como temos uma desigualdade, a região do domínio de f é dada pela região em que y 2 4 - x 2 16 é menor ou igual a 1 , ou seja, a região interna da hipérbole formada por y 2 4 - x 2 16 = 1 .

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

D o m f x , y = f x , y ∈ R 2 y 2 4 - x 2 16 ≤ 1

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Seja f (x , y , z) = sqrt(x) + sqrt(y) + sqrt(z) + ln ( 4 - x^2 - y^2 - z^2 ) .Calcule f ( 1,1 , 1 ) .Determine o domínio de f .
Seja g x , y = c o s ⁡ ( x + 2 y ) .Calcule g ( 2 , - 1 ) .Determine o domínio de g . Determine a imagem de g
1. Desenhe a imagem:c)F (t) = (t , t , 1) , t = 0