Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de 2 Variáveis

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Enunciado

1) Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.

(g) f x , y = x y - 1 x 2 + y 2 + 4 x - 4 y + 4

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema, nosso objetivo é o domínio da função f x , y = x y - 1 x 2 + y 2 + 4 x - 4 y + 4 e fazer um esboço gráfico do seu domínio no plano cartesiano.

Parece difícil? Bora começar! 😉

Para determinar o domínio de uma função, temos que analisar a função e descobrir os possíveis valores que x e y são capazes de assumir para que f seja definida.

Já para esboçar o gráfico do domínio, temos que verificar para quais valores de x e y que pertence à função ou também obter restrições do domínio e excluir essas restrições do esboço...

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

A função que temos que analisar é dada por

f x , y = x y - 1 x 2 + y 2 + 4 x - 4 y + 4

Nesse caso temos uma função definida pela fração de duas funções, onde o numerador é dado por x y - 1 e que tem uma raiz...

Sabemos que o conteúdo de uma raiz tem que ser um número maior ou igual a 0 para que seja definida, então primeiramente temos

y - 1 ≥ 0

y ≥ 1

Já no denominador temos uma função não linear e para uma fração ser definida, seu denominador tem que ser diferente de 0 . Manipulando o denominador, temos

x 2 + y 2 + 4 x - 4 y + 4 = x + 2 2 + y - 2 2 - 4

Portanto, se o denominador deve ser diferente de 0 , então

x + 2 2 + y - 2 2 - 4 ≠ 0

x + 2 2 + y - 2 2 ≠ 4

Traduzindo essas informações no domínio de f , temos

D o m f x , y = f x , y ∈ R 2 y ≥ 1 , x + 2 2 + y - 2 2 ≠ 4

Legal, né? 😁

Passo 3

Para esboçar o domínio de f graficamente, temos que olhar para as restrições y ≥ 1 e x + 2 2 + y - 2 2 ≠ 4 .

Essa última se parece muito com a equação da circunferência centrada em a , b

x - a 2 + y - b 2 = r 2

No caso, temos uma desigualdade, então nossa região exclui o a circunferência x + 2 2 + y - 2 2 = 4 onde ao mesmo tempo apenas nos interessa os valores de y > 1 .

Ou seja, a região em roxo, exceto a curva em preto.

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

D o m f x , y = f x , y ∈ R 2 y ≥ 1 , x + 2 2 + y - 2 2 ≠ 4

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Seja f (x , y , z) = sqrt(x) + sqrt(y) + sqrt(z) + ln ( 4 - x^2 - y^2 - z^2 ) .Calcule f ( 1,1 , 1 ) .Determine o domínio de f .
Seja g x , y = c o s ⁡ ( x + 2 y ) .Calcule g ( 2 , - 1 ) .Determine o domínio de g . Determine a imagem de g
1. Desenhe a imagem:c)F (t) = (t , t , 1) , t = 0