Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de 2 Variáveis

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Enunciado

1) Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.

(l) f x , y = 5 ln ⁡ x + y 4 - x 2 - y 2

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema, nosso objetivo é o domínio da função f x , y = 5 ln ⁡ x + y 4 - x 2 - y 2 e fazer um esboço gráfico do seu domínio no plano cartesiano.

Parece difícil? Bora começar! 😉

Para determinar o domínio de uma função, temos que analisar a função e descobrir os possíveis valores que x e y são capazes de assumir para que f seja definida.

Já para esboçar o gráfico do domínio, temos que verificar para quais valores de x e y que pertence à função ou também obter restrições do domínio e excluir essas restrições do esboço...

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

A função que temos que analisar é dada por

f x , y = 5 ln ⁡ x + y 4 - x 2 - y 2

Podemos perceber que essa função é dada por uma fração de duas outras funções, então vamos analisar cada uma delas...

No numerador temos a função 5 ln ⁡ x + y , sabemos que ln ⁡ x existe apenas para x > 0 , ou seja, o conteúdo do l n deve ser maior que 0 , logo

x + y > 0

Já para o denominador temos 4 - x 2 - y 2 , nesse caso, o conteúdo dentro da raiz tem que ser maior ou igual a 0 , mas como essa função está no denominador, vamos excluir a possibilidade de resultar em 0 , portanto...

4 - x 2 - y 2 > 0

x 2 + y 2 < 4

Traduzindo essas informações para o domínio de f .

D o m f x , y = f x , y ∈ R 2 |   x + y > 0 ,   x 2 + y 2 < 4

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Para obter o domínio de f graficamente, vamos olhar para as restrições x + y > 0 e x 2 + y 2 < 4 , com isso vamos ter regiões de domínio.

A restrição x + y > 0 nos diz que x > - y , ou seja, dada a reta x = - y , queremos os pontos em que x é maior, portanto, o lado direito da reta.

Ao mesmo tempo, nossa região tem que fazer parte da região limitada por x 2 + y 2 < 4 , ou seja, a região interna à circunferência x 2 + y 2 = 4 .

Esboçando essa região, temos

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

D o m f x , y = f x , y ∈ R 2 |   x + y > 0 ,   x 2 + y 2 < 4

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Seja f (x , y , z) = sqrt(x) + sqrt(y) + sqrt(z) + ln ( 4 - x^2 - y^2 - z^2 ) .Calcule f ( 1,1 , 1 ) .Determine o domínio de f .
Seja g x , y = c o s ⁡ ( x + 2 y ) .Calcule g ( 2 , - 1 ) .Determine o domínio de g . Determine a imagem de g
1. Desenhe a imagem:c)F (t) = (t , t , 1) , t = 0