Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de 2 Variáveis

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Enunciado

1) Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.

(i) f x , y = e x 3 x 5 - x 2 + y 2 - 6 x + 2 y + 6

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, nosso objetivo é o domínio da função f x , y = e x 3 x 5 - x 2 + y 2 - 6 x + 2 y + 6 e fazer um esboço gráfico do seu domínio no plano cartesiano.

Parece difícil? Bora começar! 😉

Para determinar o domínio de uma função, temos que analisar a função e descobrir os possíveis valores que x e y são capazes de assumir para que f seja definida.

Já para esboçar o gráfico do domínio, temos que verificar para quais valores de x e y que pertence à função ou também obter restrições do domínio e excluir essas restrições do esboço...

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

A função que temos que analisar é dada por

f x , y = e x 3 x 5 - x 2 + y 2 - 6 x + 2 y + 6

Nessa função temos dois termos... em e x 3 não há restrições para x então por enquanto não há restrições.

Para o termo x 5 , além de ser um denominador, é uma raiz de índice ímpar, então x deve ser diferente de 0

x ≠ 0

Agora para o termo x 2 + y 2 - 6 x + 2 y + 6 , o conteúdo dentro da raiz deve ser maior ou igual a 0 .

x 2 + y 2 - 6 x + 2 y + 6 ≥ 0

x - 3 2 - 9 + y + 1 2 - 1 + 6 ≥ 0

x - 3 2 + y + 1 2 ≥ 4

Traduzindo essas restrições para o domínio de f , temos

D o m f x , y = f x , y ∈ R 2 x ≠ 0 , x - 3 2 + y + 1 2 ≥ 4

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Para esboçar esse domínio graficamente temos que olhar para as restrições x > 0 e x - 3 2 + y + 1 2 ≥ 4 .

Para x > 0 é simples, essa região compreende a região a direita do eixo y , quando x > 0 .

Já a inequação x - 3 2 + y + 1 2 ≥ 4 parece muito com a equação da circunferência entrada em a , b e raio r x - a 2 + y - b 2 = r 2 .

Como temos que x - 3 2 + y + 1 2 é maior ou igual a 4 , então essa região compreende a região externa à circunferência de raio 2 e centro em 3 , - 1 .

Esboçando tudo isso no plano cartesiano, temos

Lembrando que x = 0 não faz parte da região.

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

D o m f x , y = f x , y ∈ R 2 x ≠ 0 , x - 3 2 + y + 1 2 ≥ 4

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Seja g x , y = c o s ⁡ ( x + 2 y ) .Calcule g ( 2 , - 1 ) .Determine o domínio de g . Determine a imagem de g
1. Desenhe a imagem:c)F (t) = (t , t , 1) , t = 0