Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de 2 Variáveis

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Enunciado

1) Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.

(e) f x , y = x + 1 2 x + y 2 + 6

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema, nosso objetivo é o domínio da função f x , y = x + 1 2 x + y 2 + 6 e fazer um esboço gráfico do seu domínio no plano cartesiano.

Parece difícil? Bora começar! 😉

Para determinar o domínio de uma função, temos que analisar a função e descobrir os possíveis valores que x e y são capazes de assumir para que f seja definida.

Já para esboçar o gráfico do domínio, temos que verificar para quais valores de x e y que pertence à função ou também obter restrições do domínio e excluir essas restrições do esboço...

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

A função que temos que analisar é dada por

f x , y = x + 1 2 x + y 2 + 6

Nesse caso temos uma fração de duas funções...

No numerador temos x + 1 . Sabemos que para uma raiz existir, seu conteúdo deve ser maior ou igual a 0 , ou seja

x + 1 ≥ 0 → x ≥ - 1

Já no denominador, temos 2 x + y 2 + 6 . Como uma raiz não resulta em um número negativo, não é possível que o denominador de f zere, logo a única restrição nesse caso é dada pela mesma ideia da restrição no numerador, ou seja

2 x + y 2 ≥ 0 → 2 x ≥ - y 2

x ≥ - y 2 2

Portanto temos duas restrições para x nesse caso, ele tem que ser maior que - 1 e também ser maior que - y 2 2 .

Traduzindo isso em domínio de f , temos

D o m f x , y = f x , y ∈ R 2 x ≥ - 1 ,   x ≥ - y 2 2

Bacana, não é? 😉

Passo 3

Para esboçar graficamente o domínio de f , vamos olhar para as restrições x ≥ - 1 e x ≥ - y 2 2 , ou seja, f é definida nesses intervalos.

Na restrição x ≥ - 1 , o gráfico formado é dado pelos pontos a direita da reta x = 1 no plano cartesiano. Ao mesmo tempo x tem que ser maior que - y 2 2 , portanto...

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

D o m f x , y = f x , y ∈ R 2 x ≥ - 1 ,   x ≥ - y 2 2

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Seja f (x , y , z) = sqrt(x) + sqrt(y) + sqrt(z) + ln ( 4 - x^2 - y^2 - z^2 ) .Calcule f ( 1,1 , 1 ) .Determine o domínio de f .
Seja g x , y = c o s ⁡ ( x + 2 y ) .Calcule g ( 2 , - 1 ) .Determine o domínio de g . Determine a imagem de g
1. Desenhe a imagem:c)F (t) = (t , t , 1) , t = 0